【ゆっくり理解】なぜ3×5で正答で、5×3が小2のテストでは誤答なのか

そういえば掛け算にはそんなルールが あったな より引用

これを受け、上記エントリーではものすごい議論の嵐。

そして下のエントリーでもかなり丁寧に解説されているにもかかわらず、議論の嵐。

黄金原本更新, 【最短理解】なぜ5×3ではなく3×5なのか – ワタタツの日記!(2010-11-13)

これは、おそらくいろんなことを混同したり、お互いの立場を全く理解せずに議論しているからだと思ったので、ゆっくり理解と題してそれを紐解いていこうと思います。

平成23年12月26日追記

今年度2学年の担任ですが、以下ちょっと変わってます。「ますます」!「一つ分×いくつ分」を意識させるように教科書が改訂されました.
「一つ分×いくつ分」をなんだかんだありますが延々と20時間以上やります。これ、教科書会社からの挑戦状なのでしょうか。
東京書籍のページに詳しいことが載っています。

さて、今年度のスタンスですが、「立式は思考判断表現の評価」となるところが一応の根拠です。
一つ分を分かっていないと、この問題できないんです。
5×3=5×2+□
なので、「一つ分を理解しているか」ということを把握するために、上のような立式の問題を出している訳です。(他の方法で確認しろよ、と言われたらそうですし、事実アレイ図を○で囲んで一つ分を確認するテストもあります。)
「技能」の評価をしたい場合はひっくり返そうが足し算に戻そうが私は○にします。
「一つ分がわかり、それがいくつあるかという考え方をかけ算として適用できる」かどうかを見るための立式です。
よって、交換法則の適用といったものと、この採点は無関係なのです。確かに算数教育の弊害と言われればそうかも知れません。
しかしながら、全教科書会社、および全ての業者テスト、学力テスト、進研ゼミなどなど、全部これで統一されているので、私だけ一人で反旗を翻してもどうなるもんでもなく、むしろ「お前が教えた児童はかけ算の順番も分かってないのか?あぁん?」となるのが目に見えています。
そんな感じで今年度はやりました。

2010年11月16日…×にする理由と△ではダメな理由、テスト問題をもう少し追加しました。

とりあえずお約束。

  1. 教職3年目の若造です。間違ってたら謝りますが、自分なりの解釈はこれです。
  2. 指導要領自体の批判になってしまうと埒があかないのでそこはやりません。
  3. 数学的な話ではなく、初等教育はどうあるのかについて述べています。

論点

  • 「皿が5皿ある。1つのお皿に3つずつりんごが載っている。全部でいくつか。」という問いに対して、5×3と式を立てるのは誤りか

用語の確認

まずは根本的な所から確認していきましょう。

とは…

式の働きについては算数科学習指導要領解説に以下のように記載があります。(強調は私)

式には,次のような働きがある。
(ア) 事柄や関係を簡潔,明瞭,的確に,また,一般的に表すことができる。
(イ) 式の表す具体的な意味を離れて,形式的に処理することができる。
(ウ) 式から具体的な事柄や関係を読み取ったり,より正確に考察したりすることができる。
(エ) 自分の思考過程を表現することができ,それを互いに的確に伝え合うことができる。
次に,式の読み方として,次のような場合がある。
(ア)式からそれに対応する具体的な場面を読む。
(イ)式の表す事柄や関係を一般化して読む。
(ウ)式に当てはまる数の範囲を,例えば,整数から小数へと拡張して,発展的に読む。
(エ)式から問題解決などにおける思考過程を読む。
(オ)数直線などのモデルと対応させて式を読む。

さらに、式自体についても以下のように記載があります。

また,「式」は,算数の言葉ともいわれるように,事柄やその関係などを正確に分かりやすく表現したり,理解したりする際に重要な働きをするものである。また,式を読み取ったり,言葉や図と関連付けて用いたりすることも大切である。

子どもたちに伝えるとしたらこんな感じです。

「式っていうのは、算数では言葉なんだよ。思っていることや考えていることを式に表して伝えることができるんだ。だから、式から考え方が分かったり、式にしようとすることで考えが深まったりするんだね。」

ということで、式については以上です。他の用語は定義が必要なときにまた確認していきましょう。

あとは乗法について指導要領解説にあたってみましょう。

ア乗法が用いられる場合とその意味
乗法は,一つ分の大きさが決まっているときに,その幾つ分かに当たる大きさを求める場合に用いられる。つまり,同じ数を何回も加える加法,すなわち累加の簡潔な表現として乗法による表現が用いられることになる。また,累加としての乗法の意味は,幾つ分といったのを何倍とみて,一つの大きさの何倍かに当たる大きさを求めることであるといえる。
この乗法九九には,単に表現として簡潔性があるばかりでなく,我が国で古くから伝統的に受け継がれている乗法九九の唱え方を記憶することによって,その結果を容易に求めることができるという特徴がある。

以下の段落については「的外れも甚だしい」とのご意見を多数頂戴しており、自分も「確かにそうだな」と感じましたので削除します。

また、順序については指導要領解説にもはっきりとした形(乗法の段に明確な形)では表されていないと思いました。
コメントで補足説明をいただいておりますので、併せてお読みください。適当なこといってすみませんでした。

順序については、ここにばっちり出てます。

また,1 0×4 は,10 が4つあることから,40になると分かる。

という訳で、togetterでの文科省の人うんたらは全くの嘘か文科省の人がおかしいかどっちかです。文科省から出ている解説に載っているわけですから。

指導過程について

では、実際のかけ算の習得場面における指導過程はどうなっているのでしょうか。

1時間目…同数累加について

具体的な場面を提示します。教科書にはパーティーとか、そんなのが出ていて、お皿にケーキが4つずつ載ってたりします。たとえばこんな感じ。

※すごくうまく授業が進んだ場合です。こんな見事に進むことは実際無いけれども。

指導者「ケーキの数はいくつになるでしょうか?」
子ども「12個!」
指導者「どんな式になったのかな?」(ここで既習の足し算が使えることを暗に意図する)
子ども「えっと、4+4+4だよ!」
指導者「おぉ。なるほど!すごいね!みんな足し算バッチリだね!じゃあ、これはどう?リンゴの数はどうかな?」
子ども「えっと、3+3+3+3+3だから…うんと、15個!」
指導者「そうだね、15個だったね。…いま、二つの式が出てきたけれども、何か気づいたことはありませんか?」
子ども「同じ数をずっと足し算しています。」
指導者「よく気づいたね。えらい!今までみんなは足し算や引き算をやってきたけれども、実はこんなときは、新しい計算を使うことができるんだよ。」
子ども「知ってる!かけ算!(塾なんかに行ってる子が言っちゃう。)」
指導者「うわぁ、先に言われちゃったね。そう、かけ算って言うんだ。一緒に言ってみよう。せーの。かけ算。」
子ども「「かけ算!」」

まぁすごく変な空間になってますけど、こんな感じです。同数累加を皮切りに導入していきます。1時間目の板書はこんな感じ。

・ケーキの数 … 4+4+4      4を3回足し算した → 4×3
・りんごの数 … 3+3+3+3+3 3を5回足し算した → 3×5

×を使ってする計算をかけ算 という。  2×1 (←×記号の書き順説明。左下に向かって1画目。)

これをおはじきを使って再度確かめます。

2時間目…かけ算の式の意味について

面倒なので掛け合いはパスしますが、以下のことを学びます。

  • という概念。
  • (かけられる数)×(かける数)=ぜんぶの数
  • (一つ分)×(いくつ分(何倍か))=ぜんぶの数

ここで例の言葉の式が出てきます。(一つ分)×(いくつ分)=ぜんぶの数 というやつです。
これは、こういうことです。

式という算数の言葉では、かけられる数に来ているほうを一つ分、かける数にきている方をいくつ分、と考えているよ、という意味を表すことになる。

また、倍の概念をここでおさえます。3×2なら3の2倍、3×3なら3の3倍だね、という感じです。(日常で倍という言葉は使っているので難なく浸透します。)

ここでは、一つ分は何か、いくつ分か、というとらえ方について、具体物を操作しながら、また写真を見ながら体得していきます。

何時間か…かけ算九九(たいてい2とか5の段から。)

ひたすらやります。暗記させます。宿題に出します。カード作ります。

九九を一通りやったあと…かけ算九九表を使っての交換法則の発見

全部の段が終わると、かけ算九九表が埋まってます。
「答えが12になるところに○をつけましょう」
というと、3×4、4×3、2×6、6×2の答えに○がつきます。そうすると子どもたちは気づいてくれます。

「あれ。ひっくり返しても答えが一緒だよ!」

おめでとう。交換法則の発見です。ただし、一点だけきちんとおさえます。

びっくり返しても同じなのは答えだね。でも、式の表す意味は変わってくるよね。

次…文章題や問題作成に取り組む

文章題でひたすら「一つ分×いくつ分」を見つけさせます。
さらには、2×6という式になるように問題を作れ、という問題に取り組ませます。(これも逆にしたらNG)

更に次…アレイ図を用いて、交換法則について更に理解を深めたり、様々な式の表現を味わう

児童にこんなのを見せます。

●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●

横列の●の数を見ると、九九の範疇を超えてます。
そこで、○で囲んで一つ分をつくってごらん、と指示します。
そうすると、こんな風に分けます。

●●●●●●●● ●●●
●●●●●●●● ●●●
●●●●●●●● ●●●
●●●●●●●● ●●●
●●●●●●●● ●●●

8×5 + 3×5(実際は一つ分の8や3を○で囲んでいる)

もしくは改行の関係で縦列では捉えづらいのですが、

5×8+5×3(5を○で囲んでいる)でもOKです。

アレイ図では、何を一つ分として考えたかは完全に自由です。
ただ、それは式の意味が
一つ分 × いくつ分 で統一されているから
であり、この統一が崩れていると、
いくら式をみんなで見せ合ったところで意味を読み取ることができません。
いわば、式での一つ分×いくつ分は、式という記号化されたものから、具体へとデコードするための規則を定めていると言っても良いと思います。

ここまでおさえてのテスト

一般的な業者のテストですと、まずこんな問題からはじまります。

下からことばを選んで、かけ算の式を説明しましょう。

(        ) × (          )= 全部の数

語群(こんな風には書いていませんが)

いくつ分、一つの数

ここで、式を立てるという指導が浸透しているかを確認できます。

次にこんな問題です。

絵を見て、かけ算の式を作りましょう。

【3個ずつ連結されているプリンが、4パックある絵】

(      ) × (      )

【4人ずつ乗れる車が、5台ある絵】

(      ) × (      )

計算しましょう

2×8 =

7×3=

5×7=

そして文章題に入ります。

3 文章を読んで、かけ算の式になおしましょう。答えも書きましょう。

(1) 1つの ふくろに あめが 5こずつ 入っています。そのふくろが 4ふくろ あります。あめは ぜんぶで 何こ あるでしょう。

ポイントは、1(つ)の~に~ずつ と言う表現が「一つ分」に該当するということです。

そしてこの問題です。

残念ながらこれはバツをつけざるを得ません。計算結果としての答えは同じでも、式の表す意味が違うからです。
一時間目に戻ってください。

問題では「りんごの数」を聞いていますので、りんごに着目します。
りんごをおはじきに変えて、具体物として操作結果が以下です。

◎◎◎ ◎◎◎ ◎◎◎ ◎◎◎ ◎◎◎

このおはじきの並べ方を見たとき、3+3+3+3+3 とは表せますが、5+5+5とは表すことはないでしょう。かけ算が同数累加からスタートした以上、(小2の段階では)ここに戻れないとダメなのです。

「何を言うんだ、5だって、一つ分じゃないか。ほら、一つずつ皿にのせた場合、5つ載せると一巡する」
「皿に1つずつりんごが載っている状態」を1つ分と考えることは現実的ではありません。5皿に1つずつ載った状態を一つ分と考え、それが3つ分だと考えるなら、(皿5皿+りんご5個)×3=皿15皿、りんご15個となります。

「違うって。皿に1つずつ、5皿分載せる作業を1つ分とするんだ。」
そしたら、1×3になりませんか?だって作業は回数であって、個数ではないですから。
1作業×3回=3回作業したという式になるでしょう。

「一回の作業で5こ扱える。それを3回行っているのだ。」

なるほど。それは一理あります。しかしながら、これを○としてしまうと、3×5も疑ってかからないといけない。
非常に難しい問題となります。そして、教科書では、これは誤答として扱っているのです。

東京書籍の教師用指導書、2学年下、P16から引用します。

そして、こんな問題に取り組みます。(同じくP17より引用)

一皿に載っている数×何皿の例

どうでしょうか。ここまで「一つ分」を意識させ、具体物操作で確かめさせています。

なので、5×3が出てくると言うことは、この指導が意味をなしていないことになります。
言い換えると、5×3の概念は具体物で操作した結果から導くことができないのです。

◎◎◎◎◎ 1回目
◎◎◎◎◎ 2回目
◎◎◎◎◎ 3回目

これは確かに5×3になりますが、「1皿にりんごが3個のっています。」を表していません。

このように具体物を操作した時、「1つの皿に”既に”3つずつ載っている」という題意から外れます。
問題文ではりんごは既に皿の上ですので、それを一度集めて、再配分しない限り、5×3は成り立ちません。

この授業の評価規準から勘案しても5×3を正答とすることはできないのです。(授業のねらいと外れている)

極論するとこれは式としては○です。

3×5=20

これは完全に○です。なぜなら、「しき」の問題はあくまでも考え方を問うているのであり、計算結果は「こたえ」が聞いています。なのでこれは○です。
多分ここが思いっきり論点がかみ合ってないところでしょう。もう一度まとめます。

式を聞かれたときは、式から読み取れる「考え方」が「指導内容と」合致しているかを聞いているのであって、正しい計算結果が出るように式を立てたかどうかを聞いているのではありません。

いくら数学的や考え方が合っていたとしても、指導したことと違うことを書いているので×をつけざるを得ないのです。
運転免許の卒業試験で、いきなりアクセルを左で踏んで完璧に走ったような感じですか。答えとしてはあってるけれども、教えたことと違う。
よって○を簡単につけることはできません。

では×をつけた後のフォローはどうするのか

簡単です。皆さんもやっていたでしょう。「返ってきたテストは必ず100点にすること!」と伝えます。
振り返りの時間を与え、質問が来たら答えます。
今回のように、この単元で重要なところだったり、ミスが多かったところに関しては教師が全体指導します。
また、今回の場合私なら正しい式(3×5=15)を書くのではなく、「一つ分」×「いくつ分」と赤ペンを入れていると思います。要は×の理由を明らかにし、正答へと導くことが大事です。
検定や合否が出るテストではなく、学校のテストは到達度の評価なのです。到達していなかったら、到達させればいい、ということになります。

なぜ△ではダメなのか

これは少し難しいです。こればかりは教員の考え方に依ると思いますが、私は△は「国語以外の教科での誤字脱字」に限ってつけています(重要語句を除く)。子どもは、△が付くと、「なぜ△なんだ?」と思うよりは、
「あ~△か。まぁ合ってるんだろう。」と思うことが多いのです。そして100点にして~と言っても、隣の人から適当に答えだけ写して終わります。△は、子どもたちの中で振り返りのきっかけとはなってくれないのです。

さて、最後に、「逆でもいいんだよ。合ってれば。一つ分とかいちいち考えさせるなんて無駄だよ。」と考えるとどうなるかについて述べておきましょう。

逆にしてもいいとすることの弊害

  • 倍の概念が育ちません
  • 割り算の時にも引っかかりが出ます
  • 計算に小数が入ってきたときにつまずきます
  • 平均、単位量あたりの大きさでつまずきます

倍の概念が育たないことについて

答えさえ合っていれば良いなら、出てきた数字をかけ算するだけになるでしょう。「一つ分」とか「いくつ分、何倍か」なんてことは考えません。

割り算の時にひっかかることについて

割り算には二つの意味があります。両方ともかけ算の式で表すことができます。□×3=15と、5×□=15の二通りです。
前者はたとえば「15個の飴を3人に配ると何個ずつ分けられるでしょう。」後者は「15個の飴をひとりに5個ずつ配ると何人に分けられるでしょう。」という問題となります。
前者を等分除、後者を包含除といいます。交換法則を用いてしまうと同じ式で表すことができますが、子どもたちにとっては具体的な場面は全く異なるものです。
よって、ここできちんとかけ算の式に直して考えることができないとひっかかります。

小数でひっかかることについて

単位量ともつながっていますが、こんな問題でつまずきます。

0.8mの重さが2.4kgの鉄の棒があります。この棒1mの重さは何kgでしょう。

1つあたりの量や倍の概念が育っていると、1mの重さ…あれ、求めるのは全体の量じゃなくって、一つあたりの量、1単位量だ。となりますが、それが十分でないとこう計算します。
0.8×2.4= 1.92 答え 1.92kg

基準となる量が、求める量よりも小さい(0.8は1よりも小さい)→よし、じゃあこれまでと似た計算、かけ算で求めればいいんだな→かけ算しちゃう→え?なんでダメなの?

正答は、2.4÷0.8=3 答え 3kg

□×0.8=2.4 を思い浮かべることができるかが肝となります。

平均や単位量あたりの大きさでひっかかることについて

平均 = ぜんぶの量 ÷ 個数  →平均は「ならした一つあたりの大きさ」を聞いている。よってこの概念が育っていないと理解に時間がかかる。
単位量→一つあたりの大きさを1単位量として考えるやり方。 ここまでくると、普通に理解させるのも一苦労なのに、立式から教えるとなると相当骨が折れる。(現在進行形)

というわけで、かけ算の答えは3×5でも、5×3でも同じです。しかしながら、テストで聞いていたのはそんなことじゃなかった。
「あなたは、一つあたりの量を認識できているかな?いくつ分という考え、倍という概念が育ってきているかな?」
ということを確認するために式を書かせているのです。定義の確認に戻りますが、言語としての式なので文章で答える必要性はありません。

最後に

多くの人がこの問題について考えていることがとても嬉しいです。間違いだとか、正解だ、なんて言うのは後で分かりますが、今教わっていることに対して常に「なんでだろう?」と考えることは、素晴らしいことです。そのおかげで、私も指導要領をもう一度読み直したり、かけ算の考え方について再度おさらいすることができました。

小学校で教わることは、大人になると「もっと簡単な方法があるのに」とか「無駄じゃないのか?」と思われることもあるかもしれませんが、発達段階に応じて、相当な工夫が重ねられたものであることは間違いありません。…かといって、全部が全部正答であるなんてことはあり得ません。常に子どもたちの実態は変化し、研究は進みます。今日このようにまとめたことだって、数年後には「古い教育だ」と言われることだってあります。ただ、言っておきたいのは、テストや教科書には必ず理論や研究に裏打ちされた「意図」が存在しています。まずはそれを紐解いてみるのも、学問への第一歩だと思います。

念押しで別の例を挙げておきましょう。HTMLで非推奨要素であるFONTタグを使おうが、divにidをつけておいてCSSを使おうが、表示される内容はほぼ一緒にできます。…が、意図が前者には見えませんし、使い回しができませんよね。今回だって同じだと思います。理論的な考え方、表現を使いこなせるかどうかは、答えでは無く、式に表れます。式をおろそかにせず、考え方を表現する手段としての存在であると分かれば、式の大切さに気づいてもらえると思います。

とりあえず、半日以上悩んでしまったのですが、今私の示せる考えは以上です。
最後までありがとうございました。

だんだん疲れてきたのでネタ

説明できるところはほぼ説明し尽くした感があるので、もうこれ以上更新できないと思います。
(というかしても反論が無くなることはないでしょう。そういう類のデリケートな問題なんだと今更ながら感じました。)

というわけで、小ネタ。以下は今回のエントリと全く逆を言っていたりします。あくまでもネタです。

1時間目から交換法則を教えたらどうなるか。

先生「はい、ではこれからかけ算の勉強をしていきます。」
児童「はーい!」

先生「まずはじめに、ケーキの数がいくつか、わかるかな?」
児童「12個!」
先生「おっ、すごいね。式はわかるかな?」
児童「4+4+4です!」
先生「素晴らしい!3+3+3+3だね!」
児童「えっ」
先生「えっ」

児童「せんせー、違います。」
先生「何が?だって答え同じだよ?」
児童「えっ」
先生「えっ」

先生「とにかく、同じ数をずっと足し算していると大変だね。まとめて考えられると便利だと思わない?」
児童「思いません。」
先生「えっ」

先生「まぁいいや。かけ算、なんての聞いたことあるかな?同じ数をずっと足し算するときは、かけ算という新しい計算をします。」
児童「かけ算?」
先生「そうだよ。これってすごいんだよ。同じ数を100回足しても、すごく短い式で済んじゃうんだ。」
児童「へぇ、すごい」
先生「なんか驚きが足りなくない?」
児童「えっ」
先生「えっ」

先生「さて、ケーキは4個ずつ3皿だったね。」
児童「そう。だから足し算で4+4+4!」
先生「4を3回足し算したんだね。かけ算では一つ分が4でそれが3つ分だから、4×3っていう風に表すよ。」
児童「なるほど。」
先生「まぁでも、3×4でもいいよ。」
児童「どっちですか?」
先生「別にどっちでも正解。」
児童「困る。」
先生「だって、どっちかにしちゃうとみんなのおうちの人に怒られちゃうし。」
児童「えっ」
先生「いや、だから、中学生になると3xとか、y=ax+bとか、もうかけ算の記号すらなくなっちゃうし。どっちでもいいんだよ。」
児童「意味わかりません。」
先生「いいの、大人になったらわかるよ。」←こうやって逃げるしかない

…うぅむ。こっちのほうがいいのかな…?でも、こりゃ収拾つかなくなるな…。この方法では私には教えられそうにないです…。

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『【ゆっくり理解】なぜ3×5で正答で、5×3が小2のテストでは誤答なのか』へのコメント

  1. 名前:タキタキ 投稿日:2010/11/16(火) 11:00:35 ID:a1fbd3b1a 返信

    この式をバツとする根拠が理解出来ない
    この文章の前後に、単位×個数の順序に言及する記載があれば別ですが(数学の問題ではないですけど)、
    問題が悪いか、教え方が悪いかのどちらか。
    子供にしてみれば、5皿あって、3この林檎がそれぞれ乗っているので5×3と考えたかもしれないのに、
    それを標準的な考え方とは異なるから☓というのは、狭量だと思う。

  2. 名前:uiti 投稿日:2010/11/16(火) 11:39:16 ID:8121446c3 返信

    子供の頭脳をなめているんだろうきっと

  3. 名前:ssn 投稿日:2010/11/16(火) 11:43:18 ID:48ecddf35 返信

    >asn
    循環論法になっていてもよい定理の証明ってどこにあるんだ?

  4. 名前:uiti 投稿日:2010/11/16(火) 11:54:40 ID:8121446c3 返信

    教えられていない正しい解答を提示できる生徒は頭が良いのではと考えた方が
    良くない?

  5. 名前:もら 投稿日:2010/11/16(火) 12:06:16 ID:d1bb3d7a2 返信

    そもそもこの記事の例題の場合、問題文が「皿の数が5枚」→「1皿につきりんごが3つ」という順番で情報が提示されている。文章問題は出てきた情報を順次式に組み込んでいくほうが、労力が少なく式の確認もしやすい。つまり、あの問題文を素直に計算式に変換すると「5×3」となる。これを不正解とするのは理不尽であるし、算数に対する苦手意識を無駄に増幅しかねない。
    もちろん、順番に意味を持たせることが重要になる場面もあるが、小学生のときに身につけさせるべき要素ではないと思う。

  6. 名前:Red cat 投稿日:2010/11/16(火) 12:57:20 ID:fa712e830 返信

    乗算の可換性が成り立つという事実を子供から奪う、非常に問題のある指導要領としか言えない。

  7. 名前:moveccr 投稿日:2010/11/16(火) 13:16:10 ID:53507980b 返信

    指導者「ケーキの数はいくつになるでしょうか?」
    子ども「12個!」
    指導者「どんな式になったのかな?」(ここで既習の足し算が使えることを暗に意図する)
    子ども「えっと、4×3だよ!」

    センセイ、どうします?かけ算知っている子なんて、1年生でもざらにいますよ。

    ここでこう言ってないですか?
    指導者「習ってないから足し算でやろうね。」

  8. 名前:たけちゃん 投稿日:2010/11/16(火) 14:54:30 ID:9d1cc10a7 返信

    これってすごい固定概念。道は一本、新たな解法を導くのは悪ってどんな教育だか。って、だいたい、掛け算で書きなさいすら問題に書いてないのに。

  9. 名前:E 投稿日:2010/11/16(火) 15:03:50 ID:e47ca37f8 返信

    数学云々というよりは、我々が買い物メモなどで日常的に使う、「りんご(3個入り)×5」というような「慣例的な表現」を同時に教えてることになるんじゃないですかね。採点を「×」とするか「△」とするかはさておいて。
    だから、「3×5」と「5×3」を区別して使うよう教わらなかった子どもがいたら、その使い分けができないという点で困るかも知れないですね。

  10. 名前:ぽこ 投稿日:2010/11/16(火) 17:59:51 ID:f04c17ae6 返信

    つまり出題方法が間違う方向に誘導してるんだよね?
    段階的って意味では上記P17の穴埋め問題から、正解を誘導すべきじゃないの?
    ×だけ付けてきちんとしたアフターケア無しだと、子供は確実に算数嫌いになるよこれ。

  11. 名前:ash 投稿日:2010/11/16(火) 18:10:59 ID:4c0148284 返信

    >ssn

    循環論法はリンク先の著者いわくの循環論法なのでよくわからん。掛け算の順序にこだわらないと容易に循環論法に陥るらしいよ。おおかた、どの公理や定理から演繹するのかが問題なんじゃないの。数学は体系なんだから、どっから引っ張ってきても論理が組みあがってればいいと俺は思うが。

  12. 名前:naruto_nico 投稿日:2010/11/16(火) 18:27:26 ID:acc8bbf1a 返信

    Webから見てると反対派が優勢に見えるけど、実際に子供がぶつかる場面で
    いえば順序押し付け派が圧倒的に優勢なんですよね。 ……胸が苦しくなるな。

    > 式を聞かれたときは、式から読み取れる考え方が「指導内容と」合致し
    > ているかを聞いているのであって、正しい計算結果が出るように式を立
    > てたかどうかを聞いているのではありません。

    ここに反応してるコメントがちらほらありますね。

    算数の文章題を解く能力に加えて 「りんごは全部で何個あるでしょう」
    まで読んで「ワシが授業でやったように式を立てて計算せよ」を補って
    読める能力も要求してるだけですよね、小学2年生相手に。
    問題に向かうときは「問題がどこから来たか」を意識してから解けよ、と。

    もしそんな行間や空気読み能力を要求しないのであれば「ワシが授業でやった
    ように式を立てて計算せよ」の旨を書いておくなり、考え方を読み取れる別
    の手を使うなりするのが筋がいいですね。
    保護者(をはじめとする大人)にとってもわかりやすい。

  13. 名前:匿名 投稿日:2010/11/16(火) 20:31:23 ID:1e721047f 返信

    […] […]

  14. 名前:kaba 投稿日:2010/11/16(火) 20:55:08 ID:6e6a501a7 返信

    ところで、陸上競技だと、4x100mリレーっていいますよね。
    なんで100mx4リレーじゃないんでしょう?

  15. 名前:E 投稿日:2010/11/16(火) 22:18:46 ID:55ce91f83 返信

    英語だと「4倍」は「4x」って表現するんですよね。
    だからこれは、言語表現の問題だと思うんです。
    初等教育の算数の問題を数学の論理「だけ」で考えると、おかしなことになる。

  16. 名前:長尾 投稿日:2010/11/16(火) 22:57:16 ID:4ebafad49 返信

    なるほど、3+3+3+3+3=3×5≠5×3=5+5+5
    をちゃんと教えようってことですね。
    なのになぜ問題文が引っかけ風になっているんでしょうか?
    おそらく、子どもが正しく理解できたかどうか確かめてるんでしょうが、それは教師のエゴです。

    問題文が、

    りんごが 3こづつ のった おさらが 5まい あります。 
    りんごは ぜんぶで 何こ あるでしょう。

    ではいけないんですか?

    答案を返した直後に、なぜ5×3=15では式が間違いなのか説明をしたのならば話は違いますが。
    算数嫌いな子どもを量産したがっているようにしか思えません。

  17. 名前:T 投稿日:2010/11/16(火) 23:53:22 ID:957675a73 返信

    >そもそもこの記事の例題の場合、問題文が「皿の数が5枚」→「1皿につきりんごが3つ」という
    >順番で情報が提示されている。文章問題は出てきた情報を順次式に組み込んでいくほうが、
    >労力が少なく式の確認もしやすい。つまり、あの問題文を素直に計算式に変換すると「5×3」
    >となる。これを不正解とするのは理不尽であるし、算数に対する苦手意識を無駄に増幅しかねない。

    逆じゃない?
    そのやり方ばかりすると暗記化してどんどん考えなくなる。
    なぜそうなるのか考えるのが算数に対する苦手意識を無くす1つの手段かと。

  18. 名前:どーも(僕です) 投稿日:2010/11/16(火) 23:58:44 ID:2dbeddfab 返信

    小学校では専門でない教科も教える必要があったりしますからね。
    元々数学が得意じゃないのでしたら、このような勘違いをなさる人が多いのも仕方ないです。

    suzusukeさんは
    5×3=15では「1皿にりんごが3個のっています。」を表していない
    と考えてらっしゃいますが、ここで誤解が生じています。

    この式の「3」がすでに「1皿にりんごが3個のっています。」を表しているんですよ。

    混乱の原因は計算式を数字だけでやっているから。
    まずはsuzusukeさんが正解とする
    3×5=15を、単位と一緒に表現すると
    ◆3(個/皿)×5(皿)=15(個)
    となります。

    平成の小学校では、この「単位」をいちいち書くのが面倒なので数字だけの式を便宜的に教えてるだけなんです。
    3×5=15は上記の式の単位を省略しているだけなので、この式の3の裏には(個/皿)が隠れています。
    つまり3という数だけで「1皿にりんごが3個のっています。」ってのを表現しているんですね。

    単位の省略は5と3を逆にしても同じ。
    5×3=15と書いたとしても、
    ◆5(皿)×3(個/皿)=15(個)
    となるだけで、数学的には全っっったく問題はありません。

  19. 名前:どーも(僕です) 投稿日:2010/11/17(水) 00:14:34 ID:6680c8514 返信

    それから、割り算で引っかかるので5×3をバツにしたという点。
    数学的には完全に正しい5×3をあえて誤りと言うのは、簡単な割り算を理解するために効果的である。
    これは分からなくはありません。

    確かにかける順番を定義してやった方が、数学的な思考が苦手な子には小学校の割り算の勉強にプラスになるかもしれません。

    しかし、
    数学というのは突き詰めれば突き詰めるほど現実社会とは違った概念的な色合いを強くします。
    小学校レベルの割り算では具体的な場面を想像出来るように誘導した方が分かりやすいかもしれませんが、高等な数学になればなるほど具体的な場面というのは思考の足かせになります。

    例えば-1÷-1=1の式を「-1個の飴を-1人に配ると何個ずつ分けられるでしょう。」と教えることは出来るでしょうか?
    このような説明をしても多分生徒はピンときませんよね?

    高度な数学になればなるほど、このような教え方は逆に理解しづらいものになってしまうんです。

    ということで数学的に正しいかどうかを度外視した場合でも、
    5×3をバツにするのは
    ◆小学校レベルの算数の理解にプラスに働く
    ◆大学以上の数学の理解にマイナスに働く
    となるかと思います。

    これは「底辺に合わせた教育」と「出来る子を更に伸ばす教育」との対立関係ですね(どちらがいいかは言及しませんが)

  20. 名前:どーも(僕です) 投稿日:2010/11/17(水) 00:34:32 ID:6680c8514 返信

    今までのことを簡単にまとめます。

    ①3×5=15 も 5×3=15 も数学的に正しい
    ②5×3=15をバツにするのは小学校までの算数を理解するのには役立つかも
    ③しかし高等な数学を学ぶ上では足枷にしかならない(そもそも数学的にはバツでない訳で…)

    これらを総括すると、
    ◆5×3=15とした児童もバツにはしない
    ◆単純に数字をあてずっぽうで並べただけっぽい子(出来ない子:将来高等な数学と縁がなさそう)には掛け算の順番を意識させるように指導して初歩の算数を習得しやすく配慮する
    ◆5×3=3×5と悟っていそうな子(出来る子:将来高等な数学に関わるかも)には数字の裏にある単位を意識させてあげる
    …みたいなのがベストかもしれませんね。

    小学校の集団授業だとなかなか難しいとは思いますが、
    アナタはこれだけ自分でいろいろ調べる気概ある先生です。
    よりベターな方法で指導してあげてくださいね。

  21. 名前:○い頭を□くする 投稿日:2010/11/17(水) 00:51:07 ID:06a622073 返信

    そもそもとして、この採点をした教師は
    “国語”を教えたかったのか“算数”を教えたかったのか?

    国語を教えたかったのならこの採点でもいいと思うが
    算数を教えたかったのならこの採点は明らかにおかしいと思う

  22. 名前:moveccr 投稿日:2010/11/17(水) 00:52:05 ID:f9e1e6277 返信

    ある意味、納得しました。私の小学校の先生はあなたのような教え方をしてくれました。
    不幸な出会いだったってことですね。。。

  23. 名前:もんもん 投稿日:2010/11/17(水) 00:56:29 ID:477ec14aa 返信

    小学生の算数ではどうかは知らないが
    数論における積の概念でいくとこの問題を5×3と書いても全く問題ないだろ
    この変な理屈は学問的に裏づけはないだろ

  24. 名前:mobile_neko 投稿日:2010/11/17(水) 01:24:45 ID:78d710a64 返信

    理解度を測るために順番が必要なら、問題文に「※かけられる数を先にして式を作りなさい」という一文を入れる方が自然ではないでしょうか。
    場合によっては「※かける数を先にして式を作りなさい」という問題を出すことで、丸暗記ではなくしっかり理解をしているか問う事も出来ますし。

  25. 名前:E 投稿日:2010/11/17(水) 02:21:40 ID:7e9210b16 返信

    数学の世界に至る道の入り口に算数があるのは確かなんでしょうが、算数は、(学問としての)数学に至る目的だけで教えられているわけではない。
    そういった一切合切を抜きにして数学的見地のみに立って斬って捨てるのは、あまりにも「外野」的ではないかと感じます。

  26. 名前:吾輩は馬鹿である 投稿日:2010/11/17(水) 02:31:03 ID:edd7ffcd4 返信

    それでも自然数の積は可換である

    このブログは、専門外の人間が外から密輸した理屈で、正しいことを正しいと主張することを禁止する風潮を批判するためのものである。そんな私にとってどうしても看過できないのが…

  27. 名前:50過ぎのおじさん@三度 投稿日:2010/11/17(水) 03:38:28 ID:9449212dc 返信

    「私はプロ教師だ!私が正しい!(キリッ」って上から目線で書くなら

    >極論するとこれは式としては○です。
    >3×5=20
    >これは完全に○です。

    ↑訂正した方がいいよ

  28. 名前:積分定数 投稿日:2010/11/17(水) 06:33:01 ID:83b16d057 返信

    >非常に難しい問題となります。そして、教科書では、これは誤答として扱っているのです。
    東京書籍の教師用指導書、2学年下、P16から引用します。

    「教科書」ではなく、「指導書」ですよね。指導書は文科省の検定が不要です。
    文科省は「順序を正しく」とも「順序はどっちでもいい」とも言っていません。

    >割り算の時にも引っかかりが出ます

    21の3等分 は □×3=21 の□に当てはまる数を探しますよね?

    2×3 3×3 4×3 ・・・・

    とやるのですか?教科書でも3の段で3×2 3×3 ・・・・

    とやりますよね。かけ算の順序に本質的な意味がないと理解していれば、等分除と包含除の区別も不要で、3の段で見つけることが出来るのに、

    順序に拘るなら、等分除と包含除でわり算の仕方を変えるべきではないでしょうか?

    このあたり、教科書ではあっさりスルーしていますが。

  29. 名前:みきや 投稿日:2010/11/17(水) 06:50:52 ID:003b7c765 返信

    僕は、昭和47年2月生まれです。これ、僕も×だったなぁ。
    周りが九九を一生懸命覚えるのを見て笑っていたのですが、結局寂しくなって、一緒になって一生懸命覚えたんですけれどね(今では、覚えておいて本当に良かったと思っています。)。何で、最初は馬鹿にしていたかと言うと、2×9も9×2も同じだから。こんなことって、子どもでもすぐに気付くんですよね。勿論、これは僕だけではなく、周りにもこんな子は普通にいた。子どもでも「わかる」。算数セットのおはじきを(学校には持って行ってなかったので)頭の中に思い浮かべれば、「わかる」。まぁ、あのころは、ポンキッキでも、ビートルズの「プリーズプリーズミー」に合わせて、カモン、カモーン、ドンって、視覚的に数の計算ってやってて、あの頃世間一般では、「直感的」って流行ってたのかもしれない(って、見たことない人には伝わらないなぁ。何であれなくなちゃったんだろう、残念だなぁ。)。
    そんなこともあって、×って言われたときは反論して、(そのときに単位のことも考えたんだけれど、P*(Q/P)=(Q/P)*Pって考えると、問題は同じになるような気はしつつ)、先に5皿並べて、一皿に3つずつおいていかなければならないときに必要な数は同じだろうって、ちなみに、ウチは5人家族だったんだけれどね。こういうのって、必ずしも順番には考えないから。5皿のそれぞいれにりんごが3つずつのっている(「完成」された)図が頭に浮かぶんだよね、それをどう説明するかの話で(説明は後からついてくる。順番に考えたから答えが出るのではなくて、出た答えに説明が符合するって感じかな。)。子どもの頃は、なぜか自分に自信があって、自分が絶対に正しいと信じて疑わなかったけれど、今考えると、もうちょっと柔軟で良かったかなとは思う。
    数学も論理の一種だとすると、「読み下す」って、意味がないわけじゃないかなと思う。違うかね?数学の本読んでて、「∀p∃q(p

  30. 名前:kkk 投稿日:2010/11/17(水) 09:00:31 ID:f18663d32 返信

    (一つ分)×(いくつ分(何倍か))=(いくつ分(何倍か))×(一つ分)を教えてやれよ。

  31. 名前:ねじ 投稿日:2010/11/17(水) 09:50:06 ID:27470ad79 返信

    ガウスが子供のころ計算した1から100までの和はバッテンなのか。

    >3×5=20
    >これは完全に○です。なぜなら、「しき」の問題
    「等式」として明らかに間違えなので、
    しき3X5または5X3、こたえ15、と書くべきでしょうね。

    >びっくり返し
    ん?

    >このおはじきの並べ方を見たとき、3+3+3+3+3 とは表せますが、5+5+5とは表すことはないでしょう。かけ算が同数累加からスタートした以上、(小2の段階では)ここに戻れないとダメなのです。

    その並べ方、横並び3つのおはじきを横並びで5つ描いたからからです。
    横並び5つのおはじきを縦並びで3つにしてください。5+5+5と表せますよね。

    皿が5枚ある。リンゴを各皿に1つ載せる。  ◎◎◎◎◎
    更に、リンゴを各皿に1つづつ追加して載せる。◎◎◎◎◎
    更に、リンゴを各皿に1つづつ追加して載せる。◎◎◎◎◎
    3個づつ載りました。縦の並びが皿一枚です。5+5+5です。
    これは同数累加ではないですか?
    5X1、5X2、5X3、以下同様、九九の5の段です。
    しき5X3、こたえ15こ

  32. 名前:積分定数 投稿日:2010/11/17(水) 10:22:18 ID:83b16d057 返信

     それから、「かけ算の順序への拘り」は、かけ算の習い始めだけではなく、高学年まで延々続くようです。

     新指導要領で文字式や順列組み合わせの初歩を小学校でやるようになるらしいですが、どうやって整合性をつけるのでしょうか?

  33. 名前:積分定数 投稿日:2010/11/17(水) 10:58:11 ID:83b16d057 返信

    以下のような算数の問題は、何のために出されるのか?出題の意図がわからない。

    http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q121569682
    小学2年生の娘の宿題テストに出た問題です。「5×7のしきになるもんだいに、○をつ…ID非公開さん

    小学2年生の娘の宿題テストに出た問題です。
    「5×7のしきになるもんだいに、○をつけましょう」
    (ア)あめをきのう5こ、きょう7こたべました。あわせてなんこたべましたか。
    (イ)ベンチが5つあります。1つに7人ずつすわると何人すわれますか。
    (ウ)じどう車が7だいあります。1だいに5人ずつのると何人のれますか。

    この問題、どうみても(イ)と(ウ)は同じに見えるんですが答えは1つなので取り合えず(イ)に○を付けさせました。ところがそれは間違いで担任の先生は(ウ)が正解だと言うのです。

    この答えにちょっと納得がいかないんですが、私の方が間違っているのでしょうか?

  34. 名前:みきや 投稿日:2010/11/17(水) 12:59:22 ID:b720d0d0a 返信

    思い出だしたので補足。
    ①1皿に3個リンゴが載っていて、それが5皿あります。
    ②5皿あって、それぞれに3個載っています。
    ③5皿あって、順繰りにひとつずつリンゴを載せていったら、3巡しました。
    は、それぞれ違うかってことかなぁ。
    僕がバッテンをもらって家に帰って、お兄ちゃんは僕より頭が良くて、いつもは僕のことを理解して分からないことを教えてくれたんだけど、これについては、①と③については教えてくれたけれど、僕が考えていた②についてはどうしても理解してくれなかったよ。
    僕は、この問題を、羊羹の切り分けと同じようにして考えたんだ。
    つまり、羊羹を縦に4本包丁入れて、その後、2本横に包丁を入れる。
    なんでかって言うと、絵を思い浮かべるとき、頭の中って最初真っ白でしょう。
    そこに皿を5皿思い浮かべるのは、画像を5分割するのと”意味的に”変わりないのよ。
    それで、1皿に3個ずつ載っているから、その画像を更に3分割するのと”意味的に”変わりないの、少なくとも、僕の頭の中では。勿論、最初から羊羹を考えたわけじゃなくて、後から考えると、そのようにして考えていたんだなと気付いただけなんだけれど。
    「全体」から考えるってのは、どうも僕の考え方の悪癖みたいで、都合の悪いこともあるんだけれど、どうもそういう癖って、この頃からあったようなんだよね。
    1個のものを、ある量、例えば体積としては5分割、しかし数としては5倍、それから3分割、しかし数としては3倍。したがって、出来た数は15となる。これが上手くお兄ちゃんに説明できなくて、当時平屋に住んでいたんだけれど、8畳の子ども部屋で、暗闇の中、頭を振り絞って一生懸命考えていたことを思い出した。懐かしいね。
    割り算みたいにして考えたんだけれど、これ駄目かね?
    (長々とすみません。)

  35. 名前:○い頭を□くする 投稿日:2010/11/17(水) 14:53:05 ID:06a622073 返信

    3×5≠5×3が成立するとなれば
    3×3≠3×3に成り得る事を許容しなければいけなくなるが許容できるものなのか?

    3×5=3+3+3+3+3≠5+5+5=5×3と言うがそもそも3が1+1+1であり5が1+1+1+1+1であるという数字の前提は何処に行ったのか?
    具体的に言えば
    3+3+3+3+3=(1+1+1)+(1+1+1)+(1+1+1)+(1+1+1)+(1+1+1)=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=(1+1+1+1+1)+(1+1+1+1+1)+(1+1+1+1+1)=5+5+5
    ではなかったのか?

  36. 名前:タナカ 投稿日:2010/11/17(水) 15:16:08 ID:c4f259c25 返信

    >子どもは、△が付くと、「なぜ△なんだ?」と思うよりは、
     「あ~△か。まぁ合ってるんだろう。」と思うことが多いのです。そして100点にして~と 言っても、隣の人から適当に答えだけ写して終わります。△は、子どもたちの中で振り返りの きっかけとはなってくれないのです。

    こういう、その場限りの言い訳は書かないほうがいいですよ。
    指導要領解説で、適当なこといってすみませんでしたなんて言ってますけど、全然反省してないじゃないですか。

  37. 名前:cudos 投稿日:2010/11/17(水) 16:30:08 ID:243aba7e3 返信

    多くのコメントがある中,取り立ててお返事いただきましてありがとうございます。ご参考になるようでしたら,紹介した身としてもうれしい限りです。
    その他シリーズや資料もあり,どれもおもしろいのでお時間があれば是非どうぞ。
    http://m-ac.jp/me/math/index_j.phtml

    さて,私はあの資料を,かけ算には順序があり,それは定義からくる文法であり,また「1あたりの量 × いくつ分」という方法を循環論法,つまり数学的には無意味だと読みました(P.67参照)。
    交換法則が成り立つからといって,一つの答案や証明の中で,右項左項がととっ散らかって書かれる数式で良いとは,私にはちょっと考えられません。数式も一種の言葉ですから,文法があることに何ら不思議もありません。

    小学生にかけ算を教える上で便利でなのだろう,1あたりの量 × いくつ分という教え方については,現場で使えており,たぶん効果があのでしょうから,外野でどうこう言うことではないと思います。ただ,順番にこだわるを理由としてこれをあげることには意味は感じません。あくまでも定義・文法の問題として順序に正誤がつけられるべきです。
    件のテストでいえば,5×3も正答とすべきでしょうが,語順を入れ替えて同種の問題を一緒に出したとき,この順序も入れ替わっていれば,まとめて誤答とすることはできるかもしれません。文法を理解してなさそうだから。

    ただ,文法はあるがそれが問われない(ここでは交換法則が成り立つ)とき,それでも文法に厳しくあるべきなのかについては,ここに並んだコメントの数の通りでしょう。教えることに意味はあっても,強制あるいは矯正することによるデメリットもありそうです。
    こういう場面では,教育学だったり現場だったりの知識や経験が生かされるところです。この後どのような判断を先生が下されるのか,拝見できるかどうか分かりませんが,とても楽しみにしています。

    最後に,私が児童であれば,このような問題にきちんと取り組む先生が担任に当たったとしたら幸せなことと感じたはずです。今後も先生のご活躍をお祈り申し上げます。長々と失礼いたしました。

  38. 名前:ふぁ 投稿日:2010/11/17(水) 16:40:27 ID:c48017e30 返信

    正しい概念~とか計算方法~とか言ってるけど、問題はそうじゃなくて
    「普通はこう考えるじゃん?」の『普通』が何なのかを説明されていない事が問題。

    この問題文を出した教師が、「可換性」と「順序の必然性」に関しての説明をしたのか?というのが明示されていない以上、そしてそれが問題文にも明記されていない以上、私達はこの計算式に×を付ける事が是とは言えないハズだ。

  39. 名前:cudos 投稿日:2010/11/17(水) 17:34:51 ID:243aba7e3 返信

    長々と書いた割にまちがっとりましたね。。

    ×には文法があり,uをm倍にしてn倍するときはuの(m×n)倍。
    で,モデルのどれをmとするかは任意性があるが,素直に解釈できるように。
    一度決めたらその後はその順に従って記述。

    でした。たぶん。

  40. 名前:cudos 投稿日:2010/11/17(水) 18:23:14 ID:243aba7e3 返信

    もうここまで来たら蛇足ついで。

    m×nを逆にn×mと書いてもいい,ということはP.34にあります。ただし以降もすべてn×mで統一。

    とどのつまり,表記上の問題として,3×5でも5×3でも,その場だけのことで言えば,どんなモデルを建てていようと,区別無くどちらも数学的には正答で,モデルの内容をかけ算の表記だけで知ることはできない,ということになります。3つあれば順番が出るけど・・・小2の範囲外か?

    順序があることとそれを教えること,区別がつかない(つける意味もない)ことを採点することの正否,教育上や実務上そんなこと言ってられない,などとどう折り合うかについては,前述と変わりません。

    コメント欄汚しまして失礼しました。

  41. 名前:算数博士 投稿日:2010/11/17(水) 22:13:26 ID:b1085e128 返信

    私は小学二年生の頃「算数博士」とか呼ばれていたらしいです。それほど良くできたんでしょうね。覚えていませんが。
    しかしこういった掛け算の順序などと言ったことは当時から本当にどうでもいいことだと思っていましたし、どうでもいいことだということを理解しない教師にウンザリしていました。
    最終学歴はある旧帝大の理論物理専攻の修士課程なので、才能はそれほどではなかったのだと思いますが、その程度かあるいはそれ以下のセンスでも十分にウンザリできる内容です。小学校二年生の時点でです。

    小学校の先生には理系出身の方はほとんどいないんじゃないかと思います。むしろ「センスがない」側だった方達が多いとお見受けしますので、多少なりともセンスのある子供たちの事情を理解できないのだと思います。
    しかし、この程度のセンスを持った子供は、実は沢山いるだろうと思っています。その多くはこういったセンスの欠片も無い初等教育(とセンスの無い親の教育)によって潰されていきます。そうしていつの間にか算数が苦手な子供が多いように見えてしまうのです。恐ろしい事です。

  42. 名前:匿名 投稿日:2010/11/17(水) 22:57:58 ID:3fda4e90f 返信

    3×5=5×3だから3×5でも5×3でもいいという奴は多分数学記号を誤解している
    “=”っていうのは、左辺と右辺が「等価」であることを意味する記号
    3×5=8+7だけど、この問題を8+7=15と書いたら不正解でしょう?
    「等価」であることと「同意」であることは違うのよ
    そして、5×3と3×5と8+7は「等価」だけど「同意」でない
    スカラー積が可換であるとは「左右を交換しても等価」ってことだけど、
    「左右を交換しても同意」であることは保障しない

    あと一般に積は非可換。ベクトル積とか行列積とかあるでしょ

    で、式の意味論を考える場合、
    日本では「りんご3個の皿が5枚」を「3個/枚x5枚」と解釈して3×5が正しいとする
    これは別に小学校に限った話じゃないよ、中学以上でも成り立つよ
    ただ、中学以上では暗黙的な式変形を認めてるだけで

  43. 名前:milkholic 投稿日:2010/11/17(水) 23:12:38 ID:8d96e8236 返信

    ひどいですね。まず教育者の論理の間違いから。

    >おめでとう。交換法則の発見です。ただし、一点だけきちんとおさえます。
    >びっくり返しても同じなのは答えだね。でも、式の表す意味は変わってくるよね。

    これを主張する人なら、その人は交換法則の成り立つ下で、リンゴ3個お皿3枚という関係について3×3=9という式と3×3=9を明確に区別して採点出来なくてはいけませんね。できるはずも無いです。

    そして、指導「要領」の誤解。指導要領は「教育者に対して」その「要領」を示しているのであって、小学校という場は児童が「指導要領」を教育される場ではない。いや〜、この調子だと中学生時点で皆、小学校教諭になれそうですねw

    しかし、教育者の立場なのにこの頭脳はひどい。カスッコロですね。僕も教育学部に一時所属していましたが、こういう勘違いの多い事多い事。
    それこそ小学生からやり直すべきだよ。それともアスペルガーか何かですか。

  44. 名前:○い頭を□くする 投稿日:2010/11/17(水) 23:57:24 ID:06a622073 返信

    >右項左項がととっ散らかって書かれる数式で良いとは,私にはちょっと考えられません。
    >数式も一種の言葉ですから,文法があることに何ら不思議もありません。

    主語述語から始まり名詞動詞に至るまで、殆どの文法において順番性が強制されるどころか順番を自由自在に入れ替える事が許されている日本語を使っている人間の言葉には見えません。

    数式も一種の言葉であり文法も有るが、式が正しく成り立つ限りは数字の順番や計算の順番と言ったものは変更できます。

    文法がある=順番が決まっている
    ではありませんよ
    文法があるんだから順番が決まってなければいけないなんてそれこそ酷い暴論かと思います

  45. 名前:led 投稿日:2010/11/18(木) 01:15:03 ID:f886f11f3 返信

    大人でも首を捻って頭悩ますのに、小学生はこれを理解してるんだろうかと思うよ。
    5皿に3個づつ配るのをイメージしたんだねということで、○でも別にいいと思うよ。
    まあ悪いのは頭の固い文部省であって学校の先生じゃないとは思うけどさ。

  46. 名前:kumon 投稿日:2010/11/18(木) 01:39:01 ID:8944fa409 返信

    「さんすう」と「数学」の違いなんだから
    むつかしい話を議論する必要がない

    しかし×にする意味が分らん
    ○でいいじゃんか

  47. 名前:koitaro 投稿日:2010/11/18(木) 01:55:41 ID:bdb088bd8 返信

    全然あり。まーそれを「×」とするところに議論が巻き起こっているのでしょうけど、「一皿3つが5皿と考えましょう」をきっちり教える、この「形式」を身につけることは思考の過程を式に表す訓練であって、曖昧・何となく、で正解にたどり着いてしまう危うさを排除するのに「しつけ」の必要な低学年にはとても重要なことだと思う。

    おそらく、ここに批判的にコメントするほとんどの人はかけ算の意味をもう理解している人々だと思いますが、ネットに書き込みできないような大の大人はみんなかけ算を十分に理解しているとは言い難い。それぐらい「概念の定着」というものは難しい。

    それを考えるとブログ主の主張はまったくおかしくない。「まず理論」ではなく「しつけから入る理論」として賛成だ。

  48. 名前:がんつ 投稿日:2010/11/18(木) 02:47:34 ID:e492b9381 返信

    ×である理由がわからない。

    指導要領通りでなくても、例え今教えていない方法で出したとしても、正解なんだから○でいい。「これしかない」って教え方はどうなんだろうか。こういう押し付けは先生のエゴにしか見えない。

    「だんだん疲れてきたのでネタ」は・・・「かける数」が前に来るだけの話なのになんでこうなるのか。この先生に数学の素養がないことはよくわかった。

    まあ、今の若い人たちに数学嫌い、融通が利かない、考えることができない人が多い理由がわかった気がする。

  49. 名前:やまねこ 投稿日:2010/11/18(木) 06:33:12 ID:2d210d51b 返信

    哲学専攻で論理学を齧ったので、数式を言語表現の一形式と見るのは同意出来るのですが、
    (かけられる数)×(かける数)=ぜんぶの数
    という限定の仕方は左辺が掛け算操作であるという「行為」に引っ張られ過ぎた概念に思います。
    「3つのりんご」のように日本語の統語法では数詞は形容詞と同様に名刺の前から掛かります。
    例題の場合は、「5つの、3つのりんごが乗った皿」と表記も概念把握も可能です。
    これを語順どおりに記号化することに問題があるという考えには疑問があります。
    掛け算という操作を学習させたいという意図がこの表記を許さないのかもしれませんが、
    3x5(3を5倍する)、3x5(3の5倍)、5x3(5倍の3)
    これらの意味は数学的というよりも言語的に違いが無いと思います。
    つまり倍数の概念を理解していて且つ日常の統語法に基づいた表記を誤答とするということは、
    「式の表す意味が違う」のではなくて「表現方法を限定している」だけの事と思えます。
    むしろ論理的に考える事の出来る子供に取っては害悪ではないでしょうか。