【ゆっくり理解】なぜ3×5で正答で、5×3が小2のテストでは誤答なのか

そういえば掛け算にはそんなルールが あったな より引用

これを受け、上記エントリーではものすごい議論の嵐。

そして下のエントリーでもかなり丁寧に解説されているにもかかわらず、議論の嵐。

黄金原本更新, 【最短理解】なぜ5×3ではなく3×5なのか – ワタタツの日記!(2010-11-13)

これは、おそらくいろんなことを混同したり、お互いの立場を全く理解せずに議論しているからだと思ったので、ゆっくり理解と題してそれを紐解いていこうと思います。

平成23年12月26日追記

今年度2学年の担任ですが、以下ちょっと変わってます。「ますます」!「一つ分×いくつ分」を意識させるように教科書が改訂されました.
「一つ分×いくつ分」をなんだかんだありますが延々と20時間以上やります。これ、教科書会社からの挑戦状なのでしょうか。
東京書籍のページに詳しいことが載っています。

さて、今年度のスタンスですが、「立式は思考判断表現の評価」となるところが一応の根拠です。
一つ分を分かっていないと、この問題できないんです。
5×3=5×2+□
なので、「一つ分を理解しているか」ということを把握するために、上のような立式の問題を出している訳です。(他の方法で確認しろよ、と言われたらそうですし、事実アレイ図を○で囲んで一つ分を確認するテストもあります。)
「技能」の評価をしたい場合はひっくり返そうが足し算に戻そうが私は○にします。
「一つ分がわかり、それがいくつあるかという考え方をかけ算として適用できる」かどうかを見るための立式です。
よって、交換法則の適用といったものと、この採点は無関係なのです。確かに算数教育の弊害と言われればそうかも知れません。
しかしながら、全教科書会社、および全ての業者テスト、学力テスト、進研ゼミなどなど、全部これで統一されているので、私だけ一人で反旗を翻してもどうなるもんでもなく、むしろ「お前が教えた児童はかけ算の順番も分かってないのか?あぁん?」となるのが目に見えています。
そんな感じで今年度はやりました。

2010年11月16日…×にする理由と△ではダメな理由、テスト問題をもう少し追加しました。

とりあえずお約束。

  1. 教職3年目の若造です。間違ってたら謝りますが、自分なりの解釈はこれです。
  2. 指導要領自体の批判になってしまうと埒があかないのでそこはやりません。
  3. 数学的な話ではなく、初等教育はどうあるのかについて述べています。

論点

  • 「皿が5皿ある。1つのお皿に3つずつりんごが載っている。全部でいくつか。」という問いに対して、5×3と式を立てるのは誤りか

用語の確認

まずは根本的な所から確認していきましょう。

とは…

式の働きについては算数科学習指導要領解説に以下のように記載があります。(強調は私)

式には,次のような働きがある。
(ア) 事柄や関係を簡潔,明瞭,的確に,また,一般的に表すことができる。
(イ) 式の表す具体的な意味を離れて,形式的に処理することができる。
(ウ) 式から具体的な事柄や関係を読み取ったり,より正確に考察したりすることができる。
(エ) 自分の思考過程を表現することができ,それを互いに的確に伝え合うことができる。
次に,式の読み方として,次のような場合がある。
(ア)式からそれに対応する具体的な場面を読む。
(イ)式の表す事柄や関係を一般化して読む。
(ウ)式に当てはまる数の範囲を,例えば,整数から小数へと拡張して,発展的に読む。
(エ)式から問題解決などにおける思考過程を読む。
(オ)数直線などのモデルと対応させて式を読む。

さらに、式自体についても以下のように記載があります。

また,「式」は,算数の言葉ともいわれるように,事柄やその関係などを正確に分かりやすく表現したり,理解したりする際に重要な働きをするものである。また,式を読み取ったり,言葉や図と関連付けて用いたりすることも大切である。

子どもたちに伝えるとしたらこんな感じです。

「式っていうのは、算数では言葉なんだよ。思っていることや考えていることを式に表して伝えることができるんだ。だから、式から考え方が分かったり、式にしようとすることで考えが深まったりするんだね。」

ということで、式については以上です。他の用語は定義が必要なときにまた確認していきましょう。

あとは乗法について指導要領解説にあたってみましょう。

ア乗法が用いられる場合とその意味
乗法は,一つ分の大きさが決まっているときに,その幾つ分かに当たる大きさを求める場合に用いられる。つまり,同じ数を何回も加える加法,すなわち累加の簡潔な表現として乗法による表現が用いられることになる。また,累加としての乗法の意味は,幾つ分といったのを何倍とみて,一つの大きさの何倍かに当たる大きさを求めることであるといえる。
この乗法九九には,単に表現として簡潔性があるばかりでなく,我が国で古くから伝統的に受け継がれている乗法九九の唱え方を記憶することによって,その結果を容易に求めることができるという特徴がある。

以下の段落については「的外れも甚だしい」とのご意見を多数頂戴しており、自分も「確かにそうだな」と感じましたので削除します。

また、順序については指導要領解説にもはっきりとした形(乗法の段に明確な形)では表されていないと思いました。
コメントで補足説明をいただいておりますので、併せてお読みください。適当なこといってすみませんでした。

順序については、ここにばっちり出てます。

また,1 0×4 は,10 が4つあることから,40になると分かる。

という訳で、togetterでの文科省の人うんたらは全くの嘘か文科省の人がおかしいかどっちかです。文科省から出ている解説に載っているわけですから。

指導過程について

では、実際のかけ算の習得場面における指導過程はどうなっているのでしょうか。

1時間目…同数累加について

具体的な場面を提示します。教科書にはパーティーとか、そんなのが出ていて、お皿にケーキが4つずつ載ってたりします。たとえばこんな感じ。

※すごくうまく授業が進んだ場合です。こんな見事に進むことは実際無いけれども。

指導者「ケーキの数はいくつになるでしょうか?」
子ども「12個!」
指導者「どんな式になったのかな?」(ここで既習の足し算が使えることを暗に意図する)
子ども「えっと、4+4+4だよ!」
指導者「おぉ。なるほど!すごいね!みんな足し算バッチリだね!じゃあ、これはどう?リンゴの数はどうかな?」
子ども「えっと、3+3+3+3+3だから…うんと、15個!」
指導者「そうだね、15個だったね。…いま、二つの式が出てきたけれども、何か気づいたことはありませんか?」
子ども「同じ数をずっと足し算しています。」
指導者「よく気づいたね。えらい!今までみんなは足し算や引き算をやってきたけれども、実はこんなときは、新しい計算を使うことができるんだよ。」
子ども「知ってる!かけ算!(塾なんかに行ってる子が言っちゃう。)」
指導者「うわぁ、先に言われちゃったね。そう、かけ算って言うんだ。一緒に言ってみよう。せーの。かけ算。」
子ども「「かけ算!」」

まぁすごく変な空間になってますけど、こんな感じです。同数累加を皮切りに導入していきます。1時間目の板書はこんな感じ。

・ケーキの数 … 4+4+4      4を3回足し算した → 4×3
・りんごの数 … 3+3+3+3+3 3を5回足し算した → 3×5

×を使ってする計算をかけ算 という。  2×1 (←×記号の書き順説明。左下に向かって1画目。)

これをおはじきを使って再度確かめます。

2時間目…かけ算の式の意味について

面倒なので掛け合いはパスしますが、以下のことを学びます。

  • という概念。
  • (かけられる数)×(かける数)=ぜんぶの数
  • (一つ分)×(いくつ分(何倍か))=ぜんぶの数

ここで例の言葉の式が出てきます。(一つ分)×(いくつ分)=ぜんぶの数 というやつです。
これは、こういうことです。

式という算数の言葉では、かけられる数に来ているほうを一つ分、かける数にきている方をいくつ分、と考えているよ、という意味を表すことになる。

また、倍の概念をここでおさえます。3×2なら3の2倍、3×3なら3の3倍だね、という感じです。(日常で倍という言葉は使っているので難なく浸透します。)

ここでは、一つ分は何か、いくつ分か、というとらえ方について、具体物を操作しながら、また写真を見ながら体得していきます。

何時間か…かけ算九九(たいてい2とか5の段から。)

ひたすらやります。暗記させます。宿題に出します。カード作ります。

九九を一通りやったあと…かけ算九九表を使っての交換法則の発見

全部の段が終わると、かけ算九九表が埋まってます。
「答えが12になるところに○をつけましょう」
というと、3×4、4×3、2×6、6×2の答えに○がつきます。そうすると子どもたちは気づいてくれます。

「あれ。ひっくり返しても答えが一緒だよ!」

おめでとう。交換法則の発見です。ただし、一点だけきちんとおさえます。

びっくり返しても同じなのは答えだね。でも、式の表す意味は変わってくるよね。

次…文章題や問題作成に取り組む

文章題でひたすら「一つ分×いくつ分」を見つけさせます。
さらには、2×6という式になるように問題を作れ、という問題に取り組ませます。(これも逆にしたらNG)

更に次…アレイ図を用いて、交換法則について更に理解を深めたり、様々な式の表現を味わう

児童にこんなのを見せます。

●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●

横列の●の数を見ると、九九の範疇を超えてます。
そこで、○で囲んで一つ分をつくってごらん、と指示します。
そうすると、こんな風に分けます。

●●●●●●●● ●●●
●●●●●●●● ●●●
●●●●●●●● ●●●
●●●●●●●● ●●●
●●●●●●●● ●●●

8×5 + 3×5(実際は一つ分の8や3を○で囲んでいる)

もしくは改行の関係で縦列では捉えづらいのですが、

5×8+5×3(5を○で囲んでいる)でもOKです。

アレイ図では、何を一つ分として考えたかは完全に自由です。
ただ、それは式の意味が
一つ分 × いくつ分 で統一されているから
であり、この統一が崩れていると、
いくら式をみんなで見せ合ったところで意味を読み取ることができません。
いわば、式での一つ分×いくつ分は、式という記号化されたものから、具体へとデコードするための規則を定めていると言っても良いと思います。

ここまでおさえてのテスト

一般的な業者のテストですと、まずこんな問題からはじまります。

下からことばを選んで、かけ算の式を説明しましょう。

(        ) × (          )= 全部の数

語群(こんな風には書いていませんが)

いくつ分、一つの数

ここで、式を立てるという指導が浸透しているかを確認できます。

次にこんな問題です。

絵を見て、かけ算の式を作りましょう。

【3個ずつ連結されているプリンが、4パックある絵】

(      ) × (      )

【4人ずつ乗れる車が、5台ある絵】

(      ) × (      )

計算しましょう

2×8 =

7×3=

5×7=

そして文章題に入ります。

3 文章を読んで、かけ算の式になおしましょう。答えも書きましょう。

(1) 1つの ふくろに あめが 5こずつ 入っています。そのふくろが 4ふくろ あります。あめは ぜんぶで 何こ あるでしょう。

ポイントは、1(つ)の~に~ずつ と言う表現が「一つ分」に該当するということです。

そしてこの問題です。

残念ながらこれはバツをつけざるを得ません。計算結果としての答えは同じでも、式の表す意味が違うからです。
一時間目に戻ってください。

問題では「りんごの数」を聞いていますので、りんごに着目します。
りんごをおはじきに変えて、具体物として操作結果が以下です。

◎◎◎ ◎◎◎ ◎◎◎ ◎◎◎ ◎◎◎

このおはじきの並べ方を見たとき、3+3+3+3+3 とは表せますが、5+5+5とは表すことはないでしょう。かけ算が同数累加からスタートした以上、(小2の段階では)ここに戻れないとダメなのです。

「何を言うんだ、5だって、一つ分じゃないか。ほら、一つずつ皿にのせた場合、5つ載せると一巡する」
「皿に1つずつりんごが載っている状態」を1つ分と考えることは現実的ではありません。5皿に1つずつ載った状態を一つ分と考え、それが3つ分だと考えるなら、(皿5皿+りんご5個)×3=皿15皿、りんご15個となります。

「違うって。皿に1つずつ、5皿分載せる作業を1つ分とするんだ。」
そしたら、1×3になりませんか?だって作業は回数であって、個数ではないですから。
1作業×3回=3回作業したという式になるでしょう。

「一回の作業で5こ扱える。それを3回行っているのだ。」

なるほど。それは一理あります。しかしながら、これを○としてしまうと、3×5も疑ってかからないといけない。
非常に難しい問題となります。そして、教科書では、これは誤答として扱っているのです。

東京書籍の教師用指導書、2学年下、P16から引用します。

そして、こんな問題に取り組みます。(同じくP17より引用)

一皿に載っている数×何皿の例

どうでしょうか。ここまで「一つ分」を意識させ、具体物操作で確かめさせています。

なので、5×3が出てくると言うことは、この指導が意味をなしていないことになります。
言い換えると、5×3の概念は具体物で操作した結果から導くことができないのです。

◎◎◎◎◎ 1回目
◎◎◎◎◎ 2回目
◎◎◎◎◎ 3回目

これは確かに5×3になりますが、「1皿にりんごが3個のっています。」を表していません。

このように具体物を操作した時、「1つの皿に”既に”3つずつ載っている」という題意から外れます。
問題文ではりんごは既に皿の上ですので、それを一度集めて、再配分しない限り、5×3は成り立ちません。

この授業の評価規準から勘案しても5×3を正答とすることはできないのです。(授業のねらいと外れている)

極論するとこれは式としては○です。

3×5=20

これは完全に○です。なぜなら、「しき」の問題はあくまでも考え方を問うているのであり、計算結果は「こたえ」が聞いています。なのでこれは○です。
多分ここが思いっきり論点がかみ合ってないところでしょう。もう一度まとめます。

式を聞かれたときは、式から読み取れる「考え方」が「指導内容と」合致しているかを聞いているのであって、正しい計算結果が出るように式を立てたかどうかを聞いているのではありません。

いくら数学的や考え方が合っていたとしても、指導したことと違うことを書いているので×をつけざるを得ないのです。
運転免許の卒業試験で、いきなりアクセルを左で踏んで完璧に走ったような感じですか。答えとしてはあってるけれども、教えたことと違う。
よって○を簡単につけることはできません。

では×をつけた後のフォローはどうするのか

簡単です。皆さんもやっていたでしょう。「返ってきたテストは必ず100点にすること!」と伝えます。
振り返りの時間を与え、質問が来たら答えます。
今回のように、この単元で重要なところだったり、ミスが多かったところに関しては教師が全体指導します。
また、今回の場合私なら正しい式(3×5=15)を書くのではなく、「一つ分」×「いくつ分」と赤ペンを入れていると思います。要は×の理由を明らかにし、正答へと導くことが大事です。
検定や合否が出るテストではなく、学校のテストは到達度の評価なのです。到達していなかったら、到達させればいい、ということになります。

なぜ△ではダメなのか

これは少し難しいです。こればかりは教員の考え方に依ると思いますが、私は△は「国語以外の教科での誤字脱字」に限ってつけています(重要語句を除く)。子どもは、△が付くと、「なぜ△なんだ?」と思うよりは、
「あ~△か。まぁ合ってるんだろう。」と思うことが多いのです。そして100点にして~と言っても、隣の人から適当に答えだけ写して終わります。△は、子どもたちの中で振り返りのきっかけとはなってくれないのです。

さて、最後に、「逆でもいいんだよ。合ってれば。一つ分とかいちいち考えさせるなんて無駄だよ。」と考えるとどうなるかについて述べておきましょう。

逆にしてもいいとすることの弊害

  • 倍の概念が育ちません
  • 割り算の時にも引っかかりが出ます
  • 計算に小数が入ってきたときにつまずきます
  • 平均、単位量あたりの大きさでつまずきます

倍の概念が育たないことについて

答えさえ合っていれば良いなら、出てきた数字をかけ算するだけになるでしょう。「一つ分」とか「いくつ分、何倍か」なんてことは考えません。

割り算の時にひっかかることについて

割り算には二つの意味があります。両方ともかけ算の式で表すことができます。□×3=15と、5×□=15の二通りです。
前者はたとえば「15個の飴を3人に配ると何個ずつ分けられるでしょう。」後者は「15個の飴をひとりに5個ずつ配ると何人に分けられるでしょう。」という問題となります。
前者を等分除、後者を包含除といいます。交換法則を用いてしまうと同じ式で表すことができますが、子どもたちにとっては具体的な場面は全く異なるものです。
よって、ここできちんとかけ算の式に直して考えることができないとひっかかります。

小数でひっかかることについて

単位量ともつながっていますが、こんな問題でつまずきます。

0.8mの重さが2.4kgの鉄の棒があります。この棒1mの重さは何kgでしょう。

1つあたりの量や倍の概念が育っていると、1mの重さ…あれ、求めるのは全体の量じゃなくって、一つあたりの量、1単位量だ。となりますが、それが十分でないとこう計算します。
0.8×2.4= 1.92 答え 1.92kg

基準となる量が、求める量よりも小さい(0.8は1よりも小さい)→よし、じゃあこれまでと似た計算、かけ算で求めればいいんだな→かけ算しちゃう→え?なんでダメなの?

正答は、2.4÷0.8=3 答え 3kg

□×0.8=2.4 を思い浮かべることができるかが肝となります。

平均や単位量あたりの大きさでひっかかることについて

平均 = ぜんぶの量 ÷ 個数  →平均は「ならした一つあたりの大きさ」を聞いている。よってこの概念が育っていないと理解に時間がかかる。
単位量→一つあたりの大きさを1単位量として考えるやり方。 ここまでくると、普通に理解させるのも一苦労なのに、立式から教えるとなると相当骨が折れる。(現在進行形)

というわけで、かけ算の答えは3×5でも、5×3でも同じです。しかしながら、テストで聞いていたのはそんなことじゃなかった。
「あなたは、一つあたりの量を認識できているかな?いくつ分という考え、倍という概念が育ってきているかな?」
ということを確認するために式を書かせているのです。定義の確認に戻りますが、言語としての式なので文章で答える必要性はありません。

最後に

多くの人がこの問題について考えていることがとても嬉しいです。間違いだとか、正解だ、なんて言うのは後で分かりますが、今教わっていることに対して常に「なんでだろう?」と考えることは、素晴らしいことです。そのおかげで、私も指導要領をもう一度読み直したり、かけ算の考え方について再度おさらいすることができました。

小学校で教わることは、大人になると「もっと簡単な方法があるのに」とか「無駄じゃないのか?」と思われることもあるかもしれませんが、発達段階に応じて、相当な工夫が重ねられたものであることは間違いありません。…かといって、全部が全部正答であるなんてことはあり得ません。常に子どもたちの実態は変化し、研究は進みます。今日このようにまとめたことだって、数年後には「古い教育だ」と言われることだってあります。ただ、言っておきたいのは、テストや教科書には必ず理論や研究に裏打ちされた「意図」が存在しています。まずはそれを紐解いてみるのも、学問への第一歩だと思います。

念押しで別の例を挙げておきましょう。HTMLで非推奨要素であるFONTタグを使おうが、divにidをつけておいてCSSを使おうが、表示される内容はほぼ一緒にできます。…が、意図が前者には見えませんし、使い回しができませんよね。今回だって同じだと思います。理論的な考え方、表現を使いこなせるかどうかは、答えでは無く、式に表れます。式をおろそかにせず、考え方を表現する手段としての存在であると分かれば、式の大切さに気づいてもらえると思います。

とりあえず、半日以上悩んでしまったのですが、今私の示せる考えは以上です。
最後までありがとうございました。

だんだん疲れてきたのでネタ

説明できるところはほぼ説明し尽くした感があるので、もうこれ以上更新できないと思います。
(というかしても反論が無くなることはないでしょう。そういう類のデリケートな問題なんだと今更ながら感じました。)

というわけで、小ネタ。以下は今回のエントリと全く逆を言っていたりします。あくまでもネタです。

1時間目から交換法則を教えたらどうなるか。

先生「はい、ではこれからかけ算の勉強をしていきます。」
児童「はーい!」

先生「まずはじめに、ケーキの数がいくつか、わかるかな?」
児童「12個!」
先生「おっ、すごいね。式はわかるかな?」
児童「4+4+4です!」
先生「素晴らしい!3+3+3+3だね!」
児童「えっ」
先生「えっ」

児童「せんせー、違います。」
先生「何が?だって答え同じだよ?」
児童「えっ」
先生「えっ」

先生「とにかく、同じ数をずっと足し算していると大変だね。まとめて考えられると便利だと思わない?」
児童「思いません。」
先生「えっ」

先生「まぁいいや。かけ算、なんての聞いたことあるかな?同じ数をずっと足し算するときは、かけ算という新しい計算をします。」
児童「かけ算?」
先生「そうだよ。これってすごいんだよ。同じ数を100回足しても、すごく短い式で済んじゃうんだ。」
児童「へぇ、すごい」
先生「なんか驚きが足りなくない?」
児童「えっ」
先生「えっ」

先生「さて、ケーキは4個ずつ3皿だったね。」
児童「そう。だから足し算で4+4+4!」
先生「4を3回足し算したんだね。かけ算では一つ分が4でそれが3つ分だから、4×3っていう風に表すよ。」
児童「なるほど。」
先生「まぁでも、3×4でもいいよ。」
児童「どっちですか?」
先生「別にどっちでも正解。」
児童「困る。」
先生「だって、どっちかにしちゃうとみんなのおうちの人に怒られちゃうし。」
児童「えっ」
先生「いや、だから、中学生になると3xとか、y=ax+bとか、もうかけ算の記号すらなくなっちゃうし。どっちでもいいんだよ。」
児童「意味わかりません。」
先生「いいの、大人になったらわかるよ。」←こうやって逃げるしかない

…うぅむ。こっちのほうがいいのかな…?でも、こりゃ収拾つかなくなるな…。この方法では私には教えられそうにないです…。

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『【ゆっくり理解】なぜ3×5で正答で、5×3が小2のテストでは誤答なのか』へのコメント

  1. 名前:しろきゃぴたん 投稿日:2010/11/15(月) 01:55:20 ID:b648347e5 返信

    いえ、批判者はこの程度のことは分かった上で批判してますよ。

  2. 名前:suzusuke 投稿日:2010/11/15(月) 02:05:12 ID:5a4ab02be 返信

    しろきゃぴたん さん

    コメントありがとうございます。
    そうお見受けできないコメントも多々あったのでまとめてみました。
    分かった上での批判であれば、それは批判される側としても僥倖なのです。
    子どもたちのために、是非考えをお互い深めようではありませんか。
    そのための知恵を是非お貸しください。よろしくお願いいたします。

  3. […] This post was mentioned on Twitter by Akiko Kurono, Tomatoyasan, mbiz_rss, brink_rss, Warhol and others. Warhol said: 【ゆっくり理解】なぜ3×5で正答で、5×3が誤答なのか | Kidsnote: そういえば掛け算にはそんなルー […]

  4. 名前:真夜中は別の人 投稿日:2010/11/15(月) 03:40:06 ID:02d72e85f 返信

    3×5≠5×3問題について

    流れ的にはこんな感じ そういえば掛け算にはそんなルールが あったな 【最短理解】なぜ5×3ではなく3×5なのか – ワタタツの日記! かけ算の5×3と3×5って違うの? – Togetter 【ゆっくり…

  5. 名前:50過ぎのおじさん 投稿日:2010/11/15(月) 05:47:46 ID:2e0bcd35c 返信

    >そしたら、1×3になりませんか?だって作業は回数であって、個数ではないですから
    なりません。というか、1969年当時は授業で教えてたんですよ

    他にも書きましたが、同様の問題が1982年か1983年に起きてます
    3*5が○・5*3が×と先生達が始めたのは1980年代以降です

    複数の考え方だと混乱するので片方切り落としみたいな感じで
    教科書から消えたみたいです

    私の世代というか1960年生まれは、小3から小4に上がる時、
    それまで小4で履修していた「三角形の合同定理」が小3に降りてきたので
    10P足らずに副読本で終業式の日に1時間程度で勉強した(覚えされられた)組です

    学習指導要領の変更時は、みな試行錯誤でした。また、変わるかも、です

  6. 名前:naruto_nico 投稿日:2010/11/15(月) 09:51:13 ID:9b4149488 返信

    学生時代の算数・数学に恨みのある批判者です;p

    > 「違うって。皿に1つずつ、5皿分載せる作業を1つ分とするんだ。」
    > そしたら、1×3になりませんか?
    なりません。「1つ分につき5個のリンゴが手元から皿に移動」です。
    リンゴなら反論のための反論に聞こえます。
    が、5人にカードを3巡配るケースを考えればこちらが自然です。1巡あたりカードを5枚ずつ配る×3巡ってのは実際にカードを配る動作とも一致します。もちろん3枚ずつ1巡で配るやつもいますがね。

    「出題者が想定している一つ分と発想が違いますよ」なら納得しますが、「考え方が間違ってます」「答えが間違ってます」なんて反応されたらきっと納得いきませんね。

    私は逆でもいいんだよ派ですが「一つ分とかいちいち考えさせるなんて無駄」とはまったく思いません。単位量や次元を意識させることは実に重要です。それの表明に式の順序を強制するローカルルールを押し付けてくるなよって考えです。

  7. 名前:pikapuka 投稿日:2010/11/15(月) 12:14:23 ID:ce8179055 返信

    >・ケーキの数 … 4+4+4      4を3回足し算した → 4×3

    既に各所でも述べられていますが「3回,4を足し算した」と言っても日本語として問題ないし、思考過程を表現するなら尚更「3皿それぞれに4つのケーキがある」という思考を式にしても問題ないはずです。
    3×4という式を見たときに「意味を理解していない」と判断するのは勘違いである可能性があります。

    意味を理解していないのか、単に違う考え方をしたのかは、式のかたちだけからは判断できないので、式の意味を理解しているかどうかを知りたいなら別の方法をとったらどうだろうか・・といったことを多くの方が述べられているので、そうした意見も読むといいのではないでしょうか。

    誤答である理由の最良の説明は「算数のでの掛け算は(かけられる数)×(かける数)の順序でなければならない、そして(一つ分)は(かけられる数)として、また(いくつ分(何倍か))は(かける数)として扱わなければならない。少なくとも日本の小学校の算数ではそういうルールということにする」といったところではないでしょうか。そして私が見たところ「なぜそのようなルールか」といったことは誰も答えられていません。

  8. 名前:水際君 投稿日:2010/11/15(月) 12:30:26 ID:af3648391 返信

    もし、
    「式」は,算数の言葉ともいわれるように,事柄やその関係などを正確に分かりやすく表現したり,理解したりする際に重要な働きをするものである。
    ということを、確認したいのであれば、
    まず問題文で、「・・・全部でいくつあるか求める式を作りなさい。」
    として、式を書かせ、
    その上で、
    「その式を使って個数を求めなさい。」と導くべきではなかったでしょうか?

    その配慮なく、
    個数のみを答えさせる問題で、数値は正しいけれども(先生の頭の中にあるだけの、生徒には明示的に記されていない)項順が逆であることのみを理由に×を付けていて、
    何らかの教育効果があるのですか?

  9. 名前:sinx 投稿日:2010/11/15(月) 13:15:50 ID:db9351df6 返信

    釣りでないのならば
    >また,1 0×4 は,10 が4つあることから,40になると分かる。
    という引用が順序の説明として的はずれであることを訂正するべき。

    3×5≠5×3問題について -真夜中は別の人- http://d.hatena.ne.jp/yetanother/20101114/1289759677
    平成20年版 小学校学習指導要領解説 「算数編」算数(2)(PDF) http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2009/06/16/1234931_004_2.pdf

  10. 名前:ad hock 投稿日:2010/11/15(月) 13:45:36 ID:348309830 返信

    どうでもいいことなんですが

    1皿 = 1 x 皿
    1個 = 1 x 個
    1度 = 1 x 度 = 1 x 0.017…
    1時間 = 1 x 時間 = 1 x (60 x 分)

    と、普通単位になるものが後ろですよね。

  11. 名前:listen 投稿日:2010/11/15(月) 14:34:34 ID:f28ed0b5f 返信

    > 残念ながらこれはバツをつけざるを得ません。答えは同じでも、式の表す意味が違うからです。

    式の表す意味は一緒ですよ。

    > 3+3+3+3+3 とは表せますが、5+5+5とは表せないのです

    どちらでも表せますよ。
    「私が考える(教わった)式の定義では表せないのです」に修正したらいかがでしょうか。

  12. 名前:n.kita 投稿日:2010/11/15(月) 15:12:59 ID:b722bda34 返信

    丁寧な解説ありがとうございます。論点がより明らかになったと思います。

    私はこのエントリの意見には反対です。なぜなら、式の解釈を否定させるルールを教える弊害が、概念を理解しずらくなるという弊害よりも大きいと考えるからです。

    > また,1 0×4 は,10 が4つあることから,40になると分かる。
    この文言は「4が10つあるから、40になると分かる」という意味の解釈を否定していないと思います。
    「10が4つ」という解釈は、日本語に直しやすく教えやすいためそう書いてあるだけだと思います。

    そこで、日本語としては不自然な「4が10つ」の解釈を否定するというルールを教えてしまうのは良くない気がします。それには次のような理由が考えられます

    1 否定ルールの影響範囲が非常に大きくなってしまう。
    2 (本当は)数式は単なる道具であり、普遍的に否定されるべき意味は無い

    印象の話になりますが、方便である「意味は違うけど答えは同じ」をきっちり使いこなせない子供が多数派だと思います。
    そのため、彼らは 7×6 を思い出せないときに 6×7 を思い出すことに抵抗を感じるでしょうし、中学生になったら、数式を道具として使う式変形のたびに、数式の意味が変わってしまうことについて無意識で悩み、嫌な気分になってしまうのではないかと思います。

    そのため、指導要領では、注意深く言葉を選んで書いてあるのだと考えられます。
    生徒に、「逆じゃダメなの?」と聞かれたら、「逆でもいいよ。でも先生は、わかりやすいように毎回この順番で書くね」と答えるべきだと思います。

    以上に書いた弊害と、記事にある弊害を天秤にかける必要がありますが、私は記事にある弊害の指摘に異論があります。

    倍の概念の話を例にあげますが、

    > 倍の概念が育たないことについて
    倍の概念が育っているかどうかを、式を書かせて確認をするのは間違いだと思います。これは日本語の穴埋め等の問題で確認をすべきです。

    例の皿とリンゴの問題に対する、子供の思考回路として理想的なものは次になるはずです

     問題を読む ⇒ かける数とかけられる数を確認 ⇒ 数式にする ⇒ 九九を思い出す ⇒ 回答

    ここで重要なのは、間違えなく「問題を読む ⇒ かける数とかけられる数を確認」になると思います。
    ご指摘の『XXXでひっかかることについて』で問題になるのも同様な『問題を読む ⇒ 割る数と割られる数を確認』『問題を読む ⇒ 単位の確認』ができていないことが原因のはずです。

    以上より、重要なのは、概念を理解しているかどうかで、式の順番ではないと考えられます。そのため、ある式の解釈を否定させるルールを教える弊害が、概念を理解しにくくなるという弊害よりも大きいと考えます。

    繰り返しになりますが、
    皿五枚、リンゴ三個の合計のリンゴの数問題で、子供が 3+3+3+3+3 を理解していれば、このコメントで書いた弊害を考慮し、それを3×5としようが5×3としようが正解にするべきだと思いますし、
    また3×5という式に対し、
    >(ア)式からそれに対応する具体的な場面を読む。
    との要求があった場合は、『リンゴが3個&皿が5枚』と書いた生徒も、『皿が3枚&リンゴが5個』と書いた生徒も、内容は違いますが概念は理解してと思われるため、両方正解にし、両方書いた生徒は花丸にするべきだと思います。

    最後になりますが、掛け算の順番でこんなに議論が紛糾するのも、みんなその事を思い出すとなんとなく嫌な気分になるからだと思います。私も嫌な気分になります。

    大人でさえ不快感をまき散らすような炎上を各所で起こしているんですから、
    この件、どの方向性でも良いのでどうにか改善して欲しいです。明らかに子供の算数嫌いの原因の一つだと思います。

  13. 名前:naruto_nico 投稿日:2010/11/15(月) 15:31:29 ID:0693b4e66 返信

    指導要領解説にばっちり出ているとは私には思えませんでした。

    「また,10×4 は,10 が4つあることから,40になると分かる」は指導
    要領解説のpp.88からの引用だろうと思いますが、フルで引用するなら

    | 簡単な場合についての2位数と1位数との乗法として,12程度までの2
    | 位数と1位数との乗法を指導する。その計算の仕方については,乗法九九
    | を基にして,乗数が1増えれば積は被乗数分だけ増えるという性質を用い
    | るなどして説明することができる。

    | 4に2位数をかける乗法の計算を例にあげると,まず,4の段の乗法九
    | 九の4×9=36 から,4×10=40(36より4だけ増える)となることが分
    | かる。さらに,4×11=44(40より4だけ増える),4×1 2=48(44よ
    | り4だけ増える)のようにして積を求めることができる。

    | また,10×4 は,10 が4つあることから,40になると分かる。さらに,
    | 11×4=44,12×4=48 となることは,乗法に関して成り立つ性質を基
    | にしたり,図を用いたりして説明することができる。

    ここから「順序を(1つ当たり)×(いくつ分)で教えろ」と読めるのは
    私に言わせれば空気読みすぎですね。

    どうせ根拠にするならpp.99の
    | 式を読み取る指導に際しては,例えば,3×4の式から,「プリンが3
    | 個ずつ入ったパックが4パックあります。プリンは全部で幾つあります
    | か。」というような問題をつくることができる。
    を引用する方がまだマシです。

    いずれにせよ、私の解釈は以下の通り:

    指導要領解説に出てくる例が(1つ当たり)×(いくつ分)の順序で書か
    れているだけであって、「順序はどちらでもいいと教えろ」とも「順序を
    (1つ当たり)×(いくつ分)で教えろ」とも書いていない。

  14. 名前:shidho 投稿日:2010/11/15(月) 15:47:30 ID:224a8ce3f 返信

    同数累加を用いて乗法を教えることは学習指導要領には載っていないような気がする(むしろ一見して注意深く避けているように見える)のですが、どの辺を解釈して同数累加で乗法を教えられるようになりましたか?

  15. 名前:koneko 投稿日:2010/11/15(月) 15:52:40 ID:575c9a5b2 返信

    林檎が3つずつ、5皿に載っていると考えたら3x5に
    皿が5枚有って、その上に林檎が3つずつあると考えるなら5x3でも間違いではないわけです。

    考え方が採点されているというのであれば、間違いになるでしょうが…

  16. 名前:sulcata 投稿日:2010/11/15(月) 16:12:45 ID:6cec40425 返信

    単位というものをもっと重視すべきだと思います。

    最初は3個のものが5つあるから3個x5=15個と教えるべきなのでは?
    5つ3個のものがあるから5x3個=15個でもいいと思います。
    式だけを書くのではなく、式を書いた思考過程を書かせるべきですね。

    単位を常に頭に置くようにするとその後の時速などを考えやすくなります。
    さらに進んで物理公式などの理解もしやすくなるのではないでしょうか?

    素人の戯言かもしれませんが…

  17. 名前:cudos 投稿日:2010/11/15(月) 16:54:43 ID:c5fc5762e 返信

    順序が逆ではいけない理由。こういったアプローチもあります。

    「足し算の順序・かけ算の順序」の数学
    http://m-ac.jp/me/instruction/subjects/number/composition/book/doc/composition.pdf

    指導要領解説から全然ばっちりじゃない引用をしてくるよりは良いかと思います。

  18. 名前:【な】 投稿日:2010/11/15(月) 17:41:15 ID:4dc894849 返信

    ×というのは全否定ですよね?
    5×3=15は、全否定するほど間違っていると言えるのですか?
    もし3×5にするのが大切だとするとしても、少なくとも△にすべきでは?
    「必ずしも間違いではないが最適解ではない」という△と「おまえは間違っている」という×では心理的な圧迫感も異なってくるのではないでしょうか。

  19. 名前:suzusuke 投稿日:2010/11/15(月) 17:45:37 ID:692b7d2cb 返信

    数々のコメント、本当にありがとうございます。
    しかしながら、大変申し訳ないのですが、コメントが多すぎて全部にお返事差し上げられません。
    コメントを見ながら、適宜記事を修正しておりますので、何とぞご容赦ください。
    よろしくお願い申し上げます。

  20. 名前:chyiro_au 投稿日:2010/11/15(月) 17:46:44 ID:e21d30994 返信

    実世界での計算は常に「単位」が付いているので、
    もし子供の考えは単位つきで
    5(皿)×3(毎皿の個数or個/皿)=15(個)
    という形で計算しているなら、これは誤答と言えません。

    3×5=3+3+3+3+3、5×3=5+5+5、
    だから3×5≠5×3という概念を押し付けるより、
    単位の重要性を教えたほうがずっと有意義だと思います。

  21. 名前:suzusuke 投稿日:2010/11/15(月) 17:48:09 ID:692b7d2cb 返信

    > cudosさん
    すみません、これだけは是非お返事をと思いまして。
    なんかとてつもなく有用になりそうなリンクを張っていただきましてありがとうございます。
    まだまだ修行の身、学ばせていただきます。ありがとうございました。

  22. 名前:むらはし 投稿日:2010/11/15(月) 18:17:13 ID:f0c35ab58 返信

    りんごが3個、りんごが3個、りんごが3個、りんごが3個、りんごが3個

    これを「5+5+5」と表せると本気で考えている人がいる以上、この議論は時間の無駄でしょうね。

  23. 名前:【な】 投稿日:2010/11/15(月) 18:56:10 ID:4dc894849 返信

    確かに、chyrio_auさんがおっしゃるように、実社会では「15台×9,000円」といった書き方が普通ですからね。
    例え、小2の算数思考法?から逸脱していると言えども、完全に間違っているとは到底言えないもの(てゆうか、間違っていないし…)に×を付けるのはいかがなものかと思いますね。
    だいいち、間違っていないものに×を付けるのは、無用な混乱を生みませんか?
    △なら「間違っていないけど」という保留を付けられると思いますが。

  24. 名前:naoki 投稿日:2010/11/15(月) 19:08:15 ID:f06643514 返信

    子供が算数に興味を持つことのほうが大事なんじゃない?

    正しいかどうかよりも、実際に×をつけられた子供が納得できるのか。
    そのほうが大事だと思うけど。

  25. 名前:しとろ 投稿日:2010/11/15(月) 19:16:19 ID:94ab18240 返信

    △として、何がいけなかったのかを指摘する余裕をどうぞ。
    ただ×では何も学べません。

  26. 名前:logic_master 投稿日:2010/11/15(月) 19:16:57 ID:f27040b7a 返信

    >これを「5+5+5」と表せると本気で考えている人がいる以上、この議論は時間の無駄でしょうね。

    表せるに決まっています。

    りんごを5人に3個ずつ配る方法は、素直に考えても直ぐに2つ思いつきます。

    1)3個ずつまとめて、5人に順番に渡す。
    2)5人に順番に1個ずつ渡して、それを3回行う。

    2の配り方を式にすれば、強く主張される掛け算の順番を守っても、逆になるでしょう。
    そして、ナチュラルに「5+5+5]ですね。

  27. 名前:tabas 投稿日:2010/11/15(月) 22:08:03 ID:cdf518100 返信

    「3.数学的な話ではなく、初等教育」
    確認しておきますが、「数学的な話は、教育とは関係ない。つまり、数学的に間違っていることを積極的に教えても構わない」
    では、ありませんよね?「数学的な話が難しい場合に、教育的観点からやむをえない場合に限って、ごまかすことを認める」と、解釈させていただきます。
    つまり、数学的な話は無条件に無視できるのではなく、必要があるときに限って、無視できるわけです。

    「~考え方が指導内容と合致しているかを聞いているのであって」
    これは、わかりやすさを考えて、授業は解法Xのみを使った場合、数学的には答えのみでなく考え方も、全く正しい解法Yがあったとして、”採点において”Yの答案を減点にするべきということを含みますか?そうではないとして話を進めます。

    「逆にしてもいい」理由は、「答えさえあってればいい」からではありません。
    文章の条件を理解した上で、適切に式を立てるときに、3*5と5*3は対等で、どっちが普通でどっちが逆とかはそもそもないのです。
    正しい”考え方”には、次のような例があります。
    A:りんごが3個。この皿が5枚だから、3+3+3+3+3=5*3。
    B:皿が5枚、1枚あたりのりんごは3個だから、5*3。
    C「何を言うんだ、5だって、一つ分じゃないか。ほら、一つずつ皿にのせた場合、5つ載せると一巡する」

    Aの考え方は、5*3=3+3+3+3+3、3*5=5+5+5を暗に採用しています。これは、指導要領の「1 0×4」の話に反します。
    しかし、指導要領通りに教えるのはいいのですが、10*4を、4+4+~+4と”解釈”するのが、数学的に間違っているとは言えないわけです。(※)
    上で述べた、授業と採点における基準の違いの問題が出てきます。

    Bの考え方は、単位量の考え方を直接的に使っているので、割り算知らないと難しいかもしれません。
    ただ、割り算を習った後は、こっそりこの考え方に移行させるべきでしょう。単位量の考えに基づいて、掛け算割り算を統一的に理解する。
    というのは、算数での一大目標な気がします。

    Cは、たしかに現実的ではないので、この解き方でやれ!と教えるのには不向きですが、”考え方として”なんら間違っていないので授業と採点のちがいの話に基づくと、○にすべきです。


    決して、ほんとは10*4=10+~だけど、交換法則のおかげで4+~でも偶然おなじになる。ではなく、10+~にするか、4+~にするかは、本質的に記号だけの問題。
    ちなみに慣用的な累乗記号の使い方との整合性を考えれば、10+~のほうが、慣用的な線形代数での表し方との整合性で言えば、4+~の方が自然な気がします。
    ただ、これらは”慣用”の話しであり、しかもその方が”自然”という感覚的な話です。
    どちらにせよ、10+~の方こそを定義として採用しなければいけない、数学的な理由は何も無いわけです。
    まあ、自然数の構成などを考えると、「どちらかでは」定義しなければいけませんが、どっちで定義しても同じです。

    ここまでで、授業に関してはさておき、採点に関しては5*3を広く認める必要があるのは、ご理解いただけたかと思います。

    しかし、これでは単位量の概念を理解しているのかどうかがわかりません。
    そこで”単位を付け加える”というローカルルールの導入です。
    3個*5もしくは、5*3個とかかせるわけです。本来は、こんなもの不要で、導入すべきではありませんが、
    単位のローカルルールには、弊害は、順序強制のローカルルールの弊害より、明らかに軽いものと思います。
    順序強制は、正しい考え方のいくつかを、暗黙のうちに排除しますが、単位のローカルルールは、本来不必要な手間をひとつかけるだけですみます。
    これによって前提3の、「ごまかす必要性」も失うことになるので、今回の場合は、教育の話は数学の話に帰着できるわけです。

    最後に、「5*3は、理解しているかどうかわからないから、とりあえず△にする。もしくは直接質問して判断する」は、ダメです。
    べつに3*5なら理解しているという保証はなく、それどころか3*5の方が理解している可能性が高いとも言えません。

  28. 名前: 投稿日:2010/11/15(月) 22:09:51 ID:3ccabaf7a 返信

    >http://m-ac.jp/me/instruction/subjects/number/composition/book/doc/composition.pdf
    ざっと読んでみただけですが。数学が規範学であるということは良いですけど、なんかいまいちしっくり来ないんですよねえ。数学は実用上の問題ではないと書いておられますが、論理的還元のしやすさなんて実用上のもののような気がしますし。あえて数学ではなく(りんごを扱う)算数であるともいえるし。
    順序の話は大学生の楽しみに取っておいたらよいのでは、とも思わないでもない(^^;

  29. 名前:jinpei 投稿日:2010/11/15(月) 22:48:51 ID:b447e7b1b 返信

    各皿からりんごを1つずつ取り出す、この操作一回につき5個。
    この操作が3回で5+5+5。

    世の中には抽象的な概念の操作が苦手で、掛け算を本当には理解できない人もいる。そういう人たちでも掛け算を使えるようにするために「掛けられる数」と「掛ける数」みたいな概念を作り出しているのじゃないかしら。3×5しか理解できなくてもとりあえず生きていけるようにはなるし。

  30. 名前:あいう 投稿日:2010/11/15(月) 23:36:09 ID:b23dd1a2d 返信

    大人が大人に理屈を述べるのは構いませんが

    > 2)5人に順番に1個ずつ渡して、それを3回行う。

    (1+1+1+1+1)+(1+1+1+1+1)…
    →(1x5)+(1x5)+(1x5)
    → 5+5+5
    → 5x3

    小学2年生に問題文からここまでを考えさせる必要があります。
    まぁそこまで考えて5x3と答えたのなら正解というか花マルをあげていいと思います。

  31. 名前:Calros 投稿日:2010/11/15(月) 23:51:19 ID:7fa27eeac 返信

    例えば,「パンが3個ずつ入った袋が4袋あります。パンは全部で幾つありますか。」というような問題をつくることができる一方で、同じ状況を「パンが入った袋が4袋あり、一袋当たりパンが3個ずつ入っています。パンは全部で幾つありますか。」というとらえ方もできる。結局のところ一つの状況を複数の方法でとらえられる訳だからどちらかに強制することはできないはずだ。むしろ自分の思いついた考え方を否定されるというのは、子供の自由な発想を妨げはしないだろうか。

  32. 名前:I_R_8 投稿日:2010/11/16(火) 00:00:14 ID:775ac92ce 返信

    指導方法としては、順序をつけて掛け算を教える手法は素晴らしいと思います。
    けど、それとテストで「×」をつけるのは違います。

    先生のいうことを素直にそのまま飲みこめるような児童なら大丈夫ですが、少し捻くれた子供だと「納得できなさ」を感じて、その結果、記事内の説明でもあるような「5巡×3回」思い付く子もいると思います。
    子供は知識は少なくても頭はいいので。

    そこで「×だ」と全否定されると、教師に不信感を覚えたり、
    算数を「何か得体のしれないもの」と感じて嫌いになる子も出るでしょう。
    少なくとも自分はそれで勉強が嫌いになった経験があります。
    この例とは違って高校で微積を習った際のことでしたが。

    既に言及されてる方もいますが、問題は子供がどう感じるかだと思います。

  33. 名前:一技術者 投稿日:2010/11/16(火) 00:09:14 ID:63a10060c 返信

    まず、私は遠山啓の本で小学校1年が終わるまでに小学校の算数(と初歩の代数)を独習した者ですが、「掛け算の順序」の押しつけに納得できず教室で泣きわめいた記憶がある、と申しておきましょう。
    なお、大学院時代の専攻は応用数学でした。応用数学とはいえ、並の学部生程度の純粋数学は理解しているつもりです。
    また、中高の数学の教員免許も持っています。

    >3+3+3+3+3 とは表せますが、5+5+5とは表せないのです。かけ算が同数累加からスタートした以上、(小2の段階では)ここに戻れないとダメなのです。

    交換法則が容易に経験的に発見できてしまう以上、説得力がありません。交換法則とはつまり×の左の項と右の項の順序に区別はないということを意味しているのであり、仮に同数累加で掛け算を定義したとしても、
    5 × 3 = 3 × 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3
    となることはここから直ちに見えます(なお、私は幼稚園児の頃にそれぐらいのことは気づいていました。念のため、塾などには行っていません)。そして、ひとたびこのことに気づけば、「同数累加」という形式的定義はもっと豊かなものに昇華されてしまいます。実際、「同数累加」という段階に留まっていては、整数(負の数を含む)や有理数、まして実数や複素数同士の掛け算など定義しようもありません。

    無論、当時の私が交換法則を「証明」まで含めて理解していたわけではありません。
    しかしそもそも、自然数の積の交換法則を証明するにはおそらく数学的帰納法が必須です。実際、「同数累加」という定義に基づいて、例えば任意の自然数 n, m に対して m × n = n × m を証明するためには、

    1) まず、n = 1 とする。このとき、定義より
    m × 1 = m, 1 × m = 1 + …… + 1 = m
    よって、n = 1 の場合は OK。

    2) 次に、ある n に対して
    m × n = n × m
    が証明できているとする。このとき、再び定義より
    (n + 1) × m = (n + 1) + …… + (n + 1)
    = (n + …… + n) + (1 + …… + 1) (∵和の交換法則)
    = (n × m) + m
    = (m × n) + m (∵帰納法の仮定)
    = (m + …… + m) + m
    = m + …… + m
    = m × (n + 1) (∵同数累加による積の定義)
    となり、m × (n + 1) = (n + 1) × m が成り立つ。

    3) 以上より、数学的帰納法と m の任意性より任意の自然数 n, m に対して m × n = n × m が成り立つ。

    とでもするしかありません。まして整数(負の数を含む)、有理数、実数、複素数となるとお手上げです。これは完全に大学レベルです(なお、整数環、有理数体、実数体、複素数体を公理的に定義してしまうのは、今度は今まで発見的に教えられてきた数の定義とその公理系が一致することを確かめなければならないので逃げ道になっていないことをお忘れなく)。

    さて、あなたはいったい小学生にどこまでを要求するのですか?

    >なので、5×3が出てくると言うことは、この指導が意味をなしていないことになります。
    >この授業の評価規準から勘案しても5×3を正答とすることはできないのです。(授業のねらいと外れている)

    つまり、あなたの言われる「正答」とは教師の「ねらい」に従うことであって、数学的真理を理解していることではない、ということですね。それが教育者の言うことでしょうか。ジョージ・オーウェルにスターリン体制を風刺した「1984 年」という小説に「党が 2 + 2 = 5 だと言えばそれが正しいのだ」というセリフがありますが、あなたの言っていることはこれとそっくりです。

    はっきり言って、当時の私のように、「授業のねらい」とは別のところで理解していた人間から見れば、そういう余計なお世話は学校を嫌いにするだけの有害無益なものです。
    児童・生徒は授業の中でのみ学ぶのではないのだということを理解して下さい。「隠れたカリキュラム」という言葉を思い出して下さい。

    「授業のねらい」も指導要領も、科学的真理の前では何の意味もありません。指導要領どころか聖書やコーランにどう書いてあろうが、それでも地球は動くのです。

  34. 名前:50過ぎのおじさん@又来ました 投稿日:2010/11/16(火) 00:15:38 ID:19f232bbe 返信

    東京書籍の教師用指導書に「一つ分」を意識させる事は強調されていても
    5皿に1個ずつ配った時に必要な「5個」を一つ分にしてはいけない、とは書いてないですね

    子供が自力で自由な発想でそう考えた時授業で指導していないから×、というなら
    それは教育じゃないですよ

    1982年か1983年に起きた問題は、当にこれです

  35. 名前:Calros 投稿日:2010/11/16(火) 00:19:01 ID:d00c5b864 返信

    ちょっと補足を。そもそも教育、殊に初等教育に於いては自由な発想力を伸ばすというのが一つの重要な課題であると思われるが、自由な発想を伸ばす上で自分の発想を否定されるというのは何よりもゆゆしき問題であると思われる。これは、自分の意見を否定されることによって発言を控えたくなる心理と同じものである。やはり小学生であると言う点を鑑みても「そういう発想もあるけれどもこういう発想もある」という風に二通りの考え方を提示してみるアプローチの方が適切であると思われる。考え方の種類が多くて困ることはまずない。ただし「パンが3個ずつ入った袋が4袋あります。パンは全部で幾つありますか。」という問題での立式が4×3なのは「数学」でなく「算数」であるという点を重視するのであれば問題である。この場合も例えば3×4を5×2と間違えたのとは次元が異なるのだから×でなく△にすべきだろう。
    ついでに乗法の交換法則に関しては確か九九とかを通してでなく、磁石のブロックで3×4を90度回転させて4×3と同じであると直感的に理解させる方がいいと思います。というか直感的な理解のために算数セットという教材があるのでは。

  36. 名前: 投稿日:2010/11/16(火) 00:21:41 ID:bff6bfacd 返信

    5×3を間違いとするのは定義理解の練習で既に掛け算の練習ではない。
    その場合必ず「一つ分×いくつ分を見つけだし云々」と出題文で定義するべきであると思う。
    初等教育でこんな事教えていたら小さな人間しか育たない気がします。
    とても残念です。

  37. 名前:msugai 投稿日:2010/11/16(火) 00:41:32 ID:92325c1a8 返信

    指導要領がどうあれ、四則演算的に、これを誤りとすることが誤り。
    単位の概念を教えたいという趣旨と、これを誤りとすることとは直接の関係はない。3+3+3+3+3=5×3とするのと3×5とするのと、何が違うのか、どちらが自然なのか。自然で云ったら、書き順はどっちもどっちと思う。今の3が5個と数えて、思考の逆順に記して5×3が自然と思うけど、これも恣意的ですよね。

    昔からある議論らしいですが、四則演算の規則的に誤っていることを教えるということが、恣意的過ぎる用に感じられて、どうしても納得いきません。理論物理学の院卒です。誤ったことを教えない方法で指導する方法はないのでしょうか。
    http://ameblo.jp/metameta7/entry-10196970407.html

  38. 名前:Temp 投稿日:2010/11/16(火) 00:58:35 ID:d62582f1b 返信

    交換可能なんだから、どちらでもいいんじゃ、、、

    A×B と B×A が異なる場合もあるし、、、

  39. 名前:sss 投稿日:2010/11/16(火) 00:59:47 ID:d9c905501 返信

    そもそも議論でこれが正しいと決定すること自体不毛なので
    どっちがいいとは思わない。

    ただブログ主のような考えで初等教育があるのは当然だと思うし
    それを通り越した大人が逆でもいんじゃね?っていうのも普通。
    自分は後者だったので教育者の視点で見るとそうなるっていうのは
    目からウロコだった。というか忘れてた。

    家庭教師をした経験から言うと理解の程度は子供によっても違うし
    小さいころから数学的素養のある子もいれば無い子もいるわけで
    どっちも押し付けは良くないとは思う。
    まあ教育って真面目にやるとホント苦労するんだろうなと思います。

  40. 名前:すといけいあ 投稿日:2010/11/16(火) 01:24:58 ID:9c9c8d2b8 返信

    >なぜ3×5で正答で、5×3が小2のテストでは誤答なのか

    現役教師の方が、×でいーんだ、といわれております。
    では、保護者から反論してみましょう。

    とりあえずお約束。

    1.小学…

  41. 名前:swk's log 投稿日:2010/11/16(火) 01:58:23 ID:8b6625ba1 返信

    「3×5」が正答で「5×3」が誤答になる話

    この話,一言書かずにはいられないのだけど,あまりフェアな立場で書ける気がしない.私自身,「5×3」と書いて × をつけられてショックを受けた記憶が鮮明に残っているからだ.

  42. 名前:先生の教えた通りにやるかどうかのテスト 投稿日:2010/11/16(火) 02:28:10 ID:1dc9f8518 返信

    「先生の教えた通りにやるかどうかのテスト」であって「算数のテスト」じゃありません。先生が教えた通りにできない子どもは×です。

    つまる所そう言いたいんですよね?

    の人も言ってますが、先生が教えた通りに子供の理解の筋道ができあがるなんてのは単なる

    思 い 上 が り

    に過ぎません。

    もう全部「服従算数」「服従国語」「服従体育」とかに変えたらいいんじゃないの?

  43. 名前:先生の教えた通りにやるかどうかのテスト 投稿日:2010/11/16(火) 02:31:54 ID:1dc9f8518 返信

    ちなみに小学校の国語も「この時作者は何を考えたでしょうか?」みたいな出題で「んなもん作者に聞かなきゃわかんねーだろ」とか思いながら「出題者の意図を答える」だけの問題が多々ありますよね。

    教育者の教育を担当している方に聞いた話ですが、「国語の先生」は「論理的な文書読み解き」の能力は相対的に低いそうです。「出題者の意図」「先生の教えたこと」ばかり気にしているせいでしょうか。書いてあることを読み解く、ということがちょっと込み入った話になるとできなくなります。

    この問題が荒れるのは、「小学校教育者側」の平均リテラシの低さ (自分のやり方を正義とし、異論反論を受け止められない) もあるのではないかと、勘ぐってしまいます。

  44. 名前:栗太 投稿日:2010/11/16(火) 04:31:35 ID:589fc6ab0 返信

    @sora_papa 話題のこのページのコメント欄に証明を書き込んでいる人がいます。 http://bit.ly/9QdyrQ が、面倒くさいだけでちっとも面白くないです。 @kumikokatase さんのように図形を使って直感的に理解する(証明ではないですが)方が面白いです。

  45. 名前:asn 投稿日:2010/11/16(火) 08:22:45 ID:54aba8c83 返信

    http://m-ac.jp/me/instruction/subjects/number/composition/book/doc/composition.pdf

    複数の証明がある定理なぞいくらでもあるが、循環論法になっていないかどうか完璧にチェックして、一番それらしいもの以外はバツをつけるとでも言うのか、このおっさんは。たごさくめ。

  46. 名前:たつや 投稿日:2010/11/16(火) 10:08:30 ID:7146b6bb8 返信

    ようは、教師の教えたことと別の考え方で
    式を導いたから×なんでしょ?

    今回の問題は2通りの考え方があって
    それぞれが式として現れているんだから、
    ☓を付けられた生徒は納得しないよ。

    もっと多様な思考を尊重したほうがいいでしょう。

    押し付け教育はもう終わってもいいんじゃない?

  47. 名前:a 投稿日:2010/11/16(火) 10:09:20 ID:11aea1763 返信

    学校教育が役に立たないわけだ
    ちなみに旧帝卒です

  48. 名前:  投稿日:2010/11/16(火) 10:19:42 ID:9e731db68 返信

    言おうとしてることはわかる。

    ただ、これが間違いだということを教師側しか認識していないという現実。
    そして、これが間違いだということを、掛け算を覚え始めた子供に
    論理的に理解させることが出来ないというジレンマ。

    その後のケアがしっかり出来ていればもちろんXでも問題ないでしょうが、
    書きこまれたコメントから察するに、どうやら今までの教師は
    今までの子供たちにきちんとした説明をしていなかったようですね。

    これからの先生。期待しています。

  49. 名前:penpen 投稿日:2010/11/16(火) 10:59:11 ID:0264af559 返信

    5x3を不正解にする様な先生はもう一度小学校からやり直した方が良い。

    的外れな弊害を述べてるが、不正解とすることの方が弊害。
    ちゃんと分かっていて5×3と書いて不正解とされた子供の能力を潰してしまう。
    賢い子なら、この先生は馬鹿だなと気付いてしまうだろうが、小学生の段階で
    そんな認識を持ってしまうと勉強以外の部分でよろしくない。

    自分の誤りと責任の重さを理解して下さい。